8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(11)

можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов и метода вариации произвольных постоянных.

8.1. Метод неопределенных коэффициентов

I. Т.к. уравнение (11) неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е.

.

Составляем соответствующее однородное уравнение

(12)

Его характеристическое уравнение

(13)

структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения (13).

Различают 3 случая.

а). Все корни характеристического уравнения (13) различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений:

,

а общее решение имеет вид:

.

б). Все корни характеристического уравнения (13) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть — комплексный корень уравнения (13). Тогда — тоже является корнем этого уравнения. Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения:

.

Если и то частные решения будут иметь вид

.

Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения (12).

в). Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть k₁ вещественный r-кратный корень. Тогда ему соответствуют r линейно независимых частных решений вида:

.

Если — комплексные корни уравнения (13) кратности r, то им соответствует 2r линейно независимых частных решений вида:

Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.

II. По виду правой части уравнения (11) подбирают частное решение неоднородного уравнения.

Возможны случаи.

1). , где P(x) – многочлен от x степени n.

а). Если число 0 не является корнем характеристического уравнения (13), то частное решение неоднородного уравнения (11) можно найти в виде , где Q(x) – многочлен от x той же степени n, что и P(x) в общем, виде (т.е. с неопределенными коэффициентами).

Например,

б). Если же 0-корень характеристического уравнения кратности r, то

.

2). .

а). Если число α не является корнем характеристического уравнения (13), то

.

3) , где — многочлены степени m и n соответственно (один из многочленов может быть тождественно равен нулю);

а) если не является корнем уравнения (13), то

,

где - многочлены степени .

б) если является корнем характеристического уравнения кратности r, то

.

4) где — функции вида, рассмотренного 1), 2), 3). Если являются частными решениями, которые соответствуют функциям , то

.

Задача 12. найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функции y. Данное уравнение может быть разрешено как минимум еще двумя способами: методом вариации произвольных постоянных и методом неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим второй способ.

Составим соответствующее однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Частные решения однородного уравнения: .

Соответственно обще однородного .

Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: — многочлен второй степени (случай II1). По его виду составим частное решение неоднородного уравнения: .

Множитель x появляется исходя из того, что x=0 является корнем характеристического уравнения. Находя и подставляя найденное в исходное уравнение, получим

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

,

из которой A=1/3, B=1, C=1/2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим

.

Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем

.

Задача 13. найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Характеристическое уравнение имеет корни: (случай Iа). Поэтому .

По виду правой части составим общий вид частного решения неоднородного уравнения, учитывая, что =2 – является корнем характеристического уравнения (случай II2б): .

Дифференцируя последнее 3 раза и подставляя в исходное уравнение, найдем, что A=1, B=0. Тогда частным решением исходного уравнения будет функция

.

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Характеристическое уравнение имеет двукратный корень k=2 (Iв). Поэтому .

По виду правой части легко составить в общем виде частное решение исходного уравнения: , т.к. 2-6i не является корнем характеристического уравнения (II3а). Для этой функции ищут и и подставляют в данное нам уравнение. Таким образом, определяют, что B=0 и A=-1/36.

Тогда, — частное решение нашего неоднородного уравнения, а искомое решение имеет вид:

.

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Т.к. корни характеристического уравнения , то — общее решение однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

.

Функция составлена по виду правой части, с учетом того, что x=0 является корнем характеристического уравнения, а 10i – нет.

Подставляя эту функцию в исходное уравнение, найдем, что

Тогда, общим решением дифференциального уравнения будет являться функция:

.