Метод Эйлера

Пусть необходимо решить уравнение с начальным условием . Разобьем отрезок [a,b] на котором ищется решение на n равных частей (равенство отдельных интервалов не является обязательным, но упрощает алгоритм численного расчета) и получим последовательность аргументов x₀, x₁, …, x_n , где .

Проинтегрировав уравнение на участке от x_к до x_к+1 получим

.

Заменяя ее значением в начале участка приходим к формуле

позволяющей вычислить значение функции в точке x_к+1 по значению функции и ее производной в точке x_к. Последовательно проводя этот процесс для всех значений аргументов можно получить таблицу значений искомой функции на всем интервале [a,b]. Истинная интегральная кривая уравнения заменяется на ломаную линию проходящую через точки (x₀,y₀)…(x_n,y_n).

Для достижения заданной точности обычно применяют двойной расчет - сначала вычисление ведется с шагом h, затем с шагом h/2. Если разность значений в контрольных точках превышает требуемую, шаг повторно уменьшают в два раза. Процедура повторяется до достижения требуемой точности.

Метод Эйлера может быть применен для решения системы уравнений первого порядка или для решения уравнений высшего порядка (в последнем случае дифференциальные уравнения должны быть приведены к системе первого порядка). Существует несколько усовершенствованных вариантов метода Эйлера, позволяющих увеличить точность численного решения. Тем не менее, метод Эйлера является довольно грубым и применяется, в основном, для предварительных расчетов.

Методы Рунге-Кутты

Рассмотренные выше методы Эйлера (как обычный, так и модифицированный) являются частными случаями явного метода Рунге-Кутта k-го порядка. В общем случае формула вычисления очередного приближения методом Рунге-Кутты имеет вид . приближает отрезок ряда Тейлора до k-го порядка и не содержит частных .

Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта первого порядка (k=1) и получается при .

Семейство методов Рунге-Кутта второго порядка имеет вид

Два наиболее известных среди методов Рунге-Кутта второго порядка – это метод Хойна ( = 1/2) и модифицированный метод Эйлера ( =1 ).

Наибольшее практическое распространение получил метод Рунге-Кутты четвертого порядка, расчетные формулы которого можно записать в виде :

Рассмотренные выше методы относятся к классу одношаговых - для нахождения значения функции в следующей точке необходимо знать значение только в предыдущей точке .

Метод Адамса

Адамс - английский астроном и механик, разработал один из самых эффективных методов численного решения дифференциальных уравнений.

Предположим, что нам известно аналитическое решение уравнения . В этом случае производная от неизвестной функции будет зависеть только от переменной x y’(x)=F(x). По известной функции F(x) можно вычислить значение в следующем узле сетки через соотношение . Последнее выражение нельзя использовать для расчета, так как функция F(x) неизвестна. Метод Адамса заключается в замене функции F(x) интерполяционным полиномом, построенным по значениям функции в предыдущих узлах сетки (сам Адамс использовал интерполяционный многочлен в форме Лагранжа).

Если для расчета используется значение только в одной предшествующей точке метод Адамса вырождается в метод Эйлера - .

Если для расчета используются две предшествующие точки, то функция F(x) аппроксимируется полиномом первой степени . После проведения интегрирования получается рекуррентное соотношение

.

Последнее выражение аппроксимирует дифференциальное уравнение со вторым порядком точности.

Наибольшее практическое применение получил метод Адамса четвертого порядка точности (для расчета необходимо знать значения функции в четырех предыдущих точках). Рекуррентная формула имеет вид

.

Преимущество метода Адамса заключается в том, что для вычисления значения функции в следующем узле сетки необходимо выполнить только один расчет (в методе Рунге-Кутты для каждого шага необходимо делать четыре расчета). Недостаток метода заключается в том, что для его применения приходится делать начальный расчет с помощью какого-либо одношагового метода. Второй недостаток заключается в том, что для метода Адамса затруднено использование алгоритмов с переменным шагом.