14. Построить потенциальную диаграмму для контура, в котором нет источников тока

Графическое изображение распределения потенциалов в электрической цепи относительно точки, потенциал которой условно принят равным нулю в зависимости от сопротивлений участков цепи, называется потенциальной диаграммой.

При построении диаграммы по оси абсцисс откладывают в масштабе сопротивления участков в том порядке, в котором участки следуют друг за другом в цепи, а по оси ординат – значения потенциала в выбранном масштабе.

Построим потенциальную диаграмму для контура, который включает следующие элементы Е₁, Е₆, R₆, R₃, Е₃, R₂, будем обходить этот контур против часовой стрелки:

Определяем сумму всех сопротивлений в этом контуре

.

Отсюда делаем вывод, что по оси абсцисс необходимо отложить 11 Ом для удобства построения точек. Выберем масштаб: в 1 см один Ом, т.е. 1 см = 1 Ом.

Обходя контур против часовой стрелки замечаем, что Е₁ и Е₆ направлены в одну сторону, значит сумма Е₁ + Е₆ = 5 В, а Е₃ = 3 В направлена противоположно обходу контура.

Отсюда следует, что по оси ординат в положительном направлении необходимо отложить 5 В, а в отрицательном -3 В. Масштаб по оси ординат выбираем 1 см = 1 В. Теперь строим потенциальную диаграмму:

Отметим особенности полученной потенциальной диаграммы.

При переходе из точки 1 в точку 4 потенциал скачкообразно изменяется (возрастает) на величину Е₁. При переходе из точки 4 в точку 5 потенциал еще раз скачкообразно изменяется (возрастает) на величину Е₆. Потенциал точки 3 ниже потенциала точки 5, т.к. ток течет от точки 5 к точке 3. потенциал точки 6 ниже потенциала точки 3, т.к. ток течет от точки 3 к точке 6.

При переходе от точки 6 к точке 2 потенциал скачком (изменяется) на величину Е₃, т.к. потенциал точки 2 ниже потенциала точки 6.

Потенциал точки 2 ниже потенциала точки 1, т.к. ток течет в направлении падения потенциала.

Пользуясь потенциальной диаграммой, можно определить напряжение межу двумя любыми точками схемы.

Приложение №1 Метод узловых потенциалов (напряжений).

Суть этого метода заключается в том, что число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться только первым законом Кирхгофа и законом Ома.

Для вычисления сущности этого метода рассмотрим электрическую схему рис. 32 с четырьмя узлами (1), (2), (3), (4).

Компонентные уравнения для ветвей схемы: Ветвь 1: U =-E1=-2 B Ветвь 2: U =I R =3I B Ветвь 3: U =I R -E = (5I -3) B Ветвь 4: U = Ветвь 5: U =(I -J )R =(I -2) · 5=5I -10 B U = Ветвь 6: U = =I R -E =(2I -3) B

Для решения методом узловых потенциалов принимаем потенциал какого-либо узла равным нулю (заземляем его). Такой узел называется базисным. Лучше за базисный узел принять один из узлов ветви, имеющей источник ЭДС. В нашем случае это будет узел (1).

Анализ схемы

Количество ветвей В=6, количество узлов у=4.

Число совместно решаемых уравнений у−1=3.

Далее приведем методику применения метода узловых потенциалов.

Этот метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до у−1=3 и основан на применении первого закона Кирхгофа, закона Ома и заключается в следующем:

1. один узел схемы принимаем базисным с нулевым потенциалом. Для нашей схемы возьмем узел (1), т.е. .

Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2. для остальных у−1=3 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

3. решая составленную систему уравнений, определяем потенциалы у−1=3 узлов относительно базисного, а затем − токи ветвей по обобщенному закону Ома.

Так как в нашей цепи ветвь 1 содержит источник ЭДС Е1, не содержащая сопротивлений, то достаточно составить и решить всего два уравнения. При этом за точку нулевого потенциала цепи следует принять один из узлов, к которым подключена указанная ветвь.

Возьмем , тогда потенциал узла (4) будет равен Е1, т.е.

(120)

Для узла (2):

Для узла (3): (121)

Составить уравнения для узла (4):

(122)

Вернемся к пункту (7) к компонентным уравнениям, которые мы записали для каждой ветви схемы.

Ветвь 2: , т.к. . (123)

Ветвь 3: .

Ветвь 4: .

Ветвь 5: . Ветвь 6: .

Составляем в соответствии с компонентными уравнениям уравнения по первому закону Кирхгофа для второго узла (Таблица 1):

далее,

; ;

; ;

;

- получили узловое уравнение для второго узла.

Для узла (2) (124)

Для третьего узла получим уравнение по первому закону Кирхгофа (Таблица 1):

- это узловое уравнение для третьего узла.

Для узла (2) (125)

Таким образом получили следующую систему уравнений:

(126)

Решение:

1. Решаем способом подстановки:

Из второго уравнения (126) находим :

откуда

Подставляем это значение в первое уравнение системы (126)

сгруппируем подобные члены:

;

; (128)

Подставляем значение в уравнение (2) системы (126):

, или

;

;

(129)

Таким образом имеем:

(130)

(131)

(132)

Таким образом в пределах точности расчета, значения токов и напряжений такое же, как и при решении задачи методом уравнений Кирхгофа.

Можно решить систему уравнений при помощи определителей.

Этот метод вытекает при решении уравнений вида

(133)

Решение будет иметь вид

(134)

Эти формулы легко заполнить, если ввести для числителей и знаменателей следующее условное обозначение.

Условимся символом

обозначать выражение (135)

, получающееся крестообразным умножением

(136)

И последующим вычитанием одного произведения из другого (со знаком “+” берется то произведение, которое принадлежит диагонали, опускающейся вправо).

Выражение (137)

называют определителем второго порядка (в отличии от определителей третьего, четвертого и т.д. порядков, вводимых при решении систем уравнений первой степени соответственно с тремя, четырьмя и т.д. неизвестными).(см. Приложение 2).

С помощью введенных обозначений формулы (3) и (4) системы (134) запишутся таким образом:

(138)

(139)

т.е. каждое из неизвестных равно дроби, знаменатель которой есть определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном на свободные члены.

Исходя из вышеизложенного, решим систему уравнений (126):

(140)

этим методом. Тогда

(141)

(142)

(143)

(131)

Проверяем правильность расчета:

	(145)
	(146)

(147)

Таким образом, в пределах погрешности расчета результаты совпадают с ранее полученными.