2 Плоскость

Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z_o) имеет вид

А(х -х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (13)

Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D=0, (14)

представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x,y и z.

Геометрически удобное уравнение в отрезках

, (15)

где а,b,с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат соответственно.

Нормированное уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcos-ρ = 0, (16)

где ρ - расстояние плоскости от начала координат; ,β, - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат. Если дана плоскость общим уравнением (14), то

μАх + μDy + μСz + μD = О

будет нормированным уравнением той же плоскости, если

,

где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении.

Нормированное уравнение (16) позволяет получить отклонение δ и

расстояние d от заданной точки М_о (х₀, у₀ ,z₀) до плоскости

δ = x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ -ρ, (17)

d = \ δ \. (18)

Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям.

3 Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

(19)

причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств

,

чтобы эти плоскости пересекались.

Другой способ задания прямой:

(20)

каноническими уравнениями, где М₀(x₀, у₀,z₀) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1,т,п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол между прямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.

Из (20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М₁{x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂)

(21)

и параметрические уравнения прямой:

. (22)

Если прямая задана уравнениями (19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х₀ и отыскивая соответствующие у₀ и z₀ из системы (19), и получить направляющий вектор прямой

Если прямая задана уравнениями (20), а плоскость общим уравнением (14), то условие параллельности прямой и плоскости

Аl + Вт+Сп = 0, (23)

а условие перпендикулярности

.

Пример 4. Привести уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид

.

Отсюда y=-2, . Получим точку М_о(0;-2; ) Найдем направляющий вектор

Канонические уравнения прямой

Пример 5. Составить уравнения движения точки M(x,y,z), которая имеет начальное положение М_о(1;-2;4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .

Решение. Тогда . Искомые уравнения будут

Пример 6. Найти расстояние точки М₀(1;2;0) от прямой

Решение. Проведем через точку М_о плоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М₁ - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от М_о до М₁. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М₀(1;2;0) на ней лежащая и нормальным вектором может служить направляющий вектор прямой а= {2,5,1}. Получим

2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0 ,

или

2x + 5y + z-12 = 0.

Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:

Исключая x,y,z, найдем t=-0,5. Тогда х=1,y=1,5,z=2,5. Точка М₁(1;1,5;2,5). Расстояние М₀М₁:

(лин.ед.).

Пример 7. Найти угол между прямой

и плоскостью

х + 2у - 3z - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1;2;-3} и направляющий вектор прямой = {2;3;5}. Косинус угла между этими векторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:

,

.