Выборочные числовые параметры

По необработанной выборке: По обработанной выборке:

Мода (x) = 102,5 Мода (x) = 103,14375

Мода (y) = 114,4 Мода (y) = 107,54375

Медиана (x) = 109,25

Медиана (y) = 110

		X	Y
Начальные моменты		111,024	109,678
		12422,974	12125,9418
		1401867,083	1351009,647
		159657583,1	151657142,7
Центральные моменты		0	0
		96,645424	96,678116
		1158,894616	-146,3223937
		56846,93329	40621,9799

Расчёт коэффициента корреляции

Корреляция — это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратичных отклонений этих величин: , причем . (1)

Из формулы (1) видно, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю, так как для таких величин K_xy = 0.

Случайные величины, для которых = 0, называют некоррелированными (несвязанными).

Отметим, однако, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Таким образом, коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами.

Рассчитаем коэффициент ,

где K_xy — ковариация, и — средние квадратичные отклонения случайных величин.

, , ,

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

, , ,

Итак, если = 0, то X и Y — независимые случайные величины; если = 1, то это строгая функциональная зависимость; +1 — возрастающая регрессия, –1 — убывающая регрессия.

Коэффициенты корреляции, представляя количественную характеристику тесноты связи между признаками, служат также оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям. Для исследуемой взаимосвязи между X и Y, коэффициент корреляции . Следовательно, зависимость между X и Y крайне мала.

Гистограммы относительных нормированных частот X и Y

Графики эмпирических функций распределения X и Y

Графики полигонов относительных частот X и Y

Регрессия

Метод наименьших квадратов

Обычно в любой области науки при изучении двух величин проводятся эксперименты. Из-за того, что почти всегда измерение связано с погрешностями, соответствующие точки X и Y не ложатся на какую-то функцию и задача состоит в том, чтобы на основании экспериментальных точек выявить функциональную зависимость.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, в частности, с тем, что связи много переменные, т.е. Y зависит не только от X, но и от других параметров, причем такая связь часто носит случайный характер.

В этом случае, имея экспериментальные точки, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом близка к экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.