§ 3. Метод Рунге-Кутта.

Рассмотрим метод 4-го порядка:

Далее по вычисляем и т.д.

Проверить, что метод имеет 4-й порядок легко, если предположить, что правая часть не зависит от у.

Пусть дана задача Коши:

.

Проинтегрируем уравнение на промежутке :

.

Применим к интегралу формулу Симпсона:

.

Разложим левую и правую части этого приближенного равенства в ряд Тейлора до членов 4-го порядка по h :

Слева и справа коэффициенты при степенях h от 0 до 4 должны совпадать, т.к. формула Симпсона точна для многочленов степени 3. Приравняем их и получим

, где .

Если —многочлен степени не выше 3, то решение будет точным. Для произвольной функции локальная ошибка является величиной . Значит мы имеем метод 4-го порядка.

Метод легко переносится на системы уравнений, если систему записать в векторной форме . векторы , вектор-функция с компонентами .

Например, пусть дана система 2-го порядка

Введем векторы : , и вектор-функцию . Тогда систему можно записать в виде

. Затем применяем к этой векторной задаче метод Рунге_Кутта , где формулы (3.1) и (3.2)

записываются в векторной форме.

§ 4. Методы Адамса.

Рассмотрим задачу Коши

(4.1)

В точках , для всех j, вычислены значения . Построим интерполяционый полином степени k для функции (х):

, где . (4.2)

Проинтегрируем уравнение (4.1) на промежутке :

.

где — остаточный член.

Вычислим 1-й интеграл в правой части:

.

, где . Сделаем в интеграле замену переменных по формуле

. Тогда .

Обозначим .

Тогда .

Имеем (см. лекцию 2). Если то . Значит , но

, отсюда . Обозначим . Эти величины не зависят от h и k. (по k определяется их количество). Таким образом, получаем приближенную формулу (4.3)

Эта формула называется экстраполяционной формулой Адамса. Коэффициенты вычислены заранее для различных k и приводятся в справочниках . Для уточнения полученного значения можно использовать интерполяционный многочлен, построенный по значениям в точках :

, где . (4.4)

Производя аналогичные преобразования, получим формулу

(4.5)

Это интерполяционная формула Адамса. Коэффициенты тоже вычислены заранее для различных k .

Формулы (4.3) и (4.5) на практике часто используются с применением конечных разностей.

Пусть снова дана таблица значений , вычисленных в точках . Рассмотрим конечные разности , . Построим интерполяционный многочлен в форме Ньютона для конца таблицы для функции

(4.6)

где

Интегрируем уравнение (4.1) и подставляем под интеграл вместо выражение через интерполяционный многочлен:

. Подставим в интеграл выражение (4.6):

Обозначим . Тогда .

Обозначим . Отсюда получим (4.7)

Это экстраполяционная формула Адамса с разностями. Коэффициенты вычислены заранее и берутся из справочника.

Для уточнения результата можно воспользоваться интерполяционной формулой.

Построим интерполяционный многочлен k+1 порядка по узлам :

.

Производя преобразования, аналогичные предыдущим, получаем формулу

(4.8)

Это интерполяционная формула Адамса с разностями. Коэффициенты тоже вычисляются заранее и берутся из справочника. Приведем 2 формулы, наиболее часто встречающиеся на практике.

—экстраполяционная формула Адамса 4-го порядка.

—интерполяционная формула Адамса 5-го порядка.

Чтобы воспользоваться полученными формулами, нужно построить начало таблицы. Для этого можно применить рассмотренные ранее методы: разложение в ряд, метод Эйлера или метод Рунге-Кутта.