Исследование политропного процесса

Цель работы

Цель данной работы является практическое определение показателя политропы при истечении газа из сосуда в окружающую среду.

Краткие сведения из теории

Наименование данный процесс получил от сочетания двух греческих слов: «поли» - много и «тропос» - путь, т.е. политропный.

Соотношение термических параметров (P,V,T) в политропном процессе характеризуется следующими зависимостями:

PVⁿ = const или ⁿ; (11)

ТV^n-1 = const или ^n-1; (12)

ТP^(1-n)|n = const или ^(1-n)/n; (13)

где Р – абсолютное давление, Н²/м; V – удельный объем, м³/кг; Т – абсолютная температура, К; n – показатель политропы n в конкретном термодинамическом процессе может иметь любое значение в пределах от – ∞ до +∞, оставаясь постоянным); С_V,C_P и С удельная (массовая) теплоемкость в процессе соответственно изохорном, изобарном и политропном, Дж/(кг×К).

Удельная теплоемкость в политропном процессе зависит от показателя политропы и может быть определена из формулы,

h=(C-C_P)/(C-C_V), преобразовав которую получим:

C=C_{V ,} (14)

где R – показатель адиабаты,

К = μС_З.μС_М = С_З.С_М (15)

μC_P и μC_V - удельная (киломольная) теплоемкость газа в процессе соответственно изобарном и изохорном, Дж/(кмоль×К).

Численное значение показателя адиабаты R для газов различной атомности можно определить по формуле (15), если использовать данные табл.2.

Как следует из табл. 2, разность μC_P-μC_V для газов различной атомности имеет одно и то же значение, которое равно 8314 Дж/( кмоль×К). Эта разность обозначается через μR и называется универсальной газовой постоянной, а выражение

μC_P - μC_V = μR (16)

или C_P - C_V = R

известно, как уравнение Майера.

Здесь R= μR/μ – газовая постоянная, Дж/ (кг×К).

Таблица 2

Киломольная теплоемкость при P = const и V = const и значения показателя адиабаты для газов различной атомности

Атомность газа	Газы	μCV		μCP		R
		ккал/кмоль×К	кДж/кмоль×К	ккал/кмоль×К	кДж/кмоль×К
Одно-атомный	Не Ar	~3	~12,6	~5	~20,9	~1,67
Двух-атомный	H2 O2 N2 CO	~5	~20,9	~7	~29,3	~1,4
Трех- и более атомный	CO2 H2O CH4 NH3	~7	~29,3	~9	~37,7	~1,29

Рис.3. Зависимость удельной теплоемкости от показателя политропы

Графическая зависимость удельной теплоемкости от показателя политропы приведена на рис. 3, откуда следует, что теплоемкость С в политропном процессе при k>n>1 имеет отрицательное значение. Следовательно в процессах, протекающих при данном значении показателя политропы, dg и dT имеют различные алгебраические знаки. Иными словами, если к рабочему телу в процессе при k>n>1 подводится теплота, то его температура снижается, а при отводе теплоты – повышается. (Разбираемый ниже пример подтверждает данное положение).

Расположение политроп в pV и Ts – координатах при различных значениях показателя политропы n, приведено на рис. 4, из которого видно, что политропный процесс изменения состояния газа по отношению к частным термодинамическим процессам (изохорному, изобарному, изотермному и адиабатному) является обобщающим.

Действительно, если в уравнении (11) принять:

n=0, получим уравнение изобары (p=const);

n=1, получим уравнение изотермы(pV=const).

n=k, получим уравнение адиабаты (pV^R=const);

n=±∞, получим уравнение изохоры (V=const).

Удельная теплоемкость частных термодинамических процессов может быть определена по рис. 1 или из формулы (13); при n=0 (изобарный процесс) удельная теплоемкость Ср;

>>n=1 (изотермный процесс) >> Cт=±∞;

>>n=k (адиабатный процесс) >> Cs=±∞;

>>n=±∞ (изохорный процесс) >> Cv=±∞.

Пользуясь одной из диаграмм (рис.2) можно определить как в конкретном процессе при расширении или сжатии газа и известном показателе политропы изменяется давление газа, его объем, температура, внутренняя энергия и энтропия, а также производится или отводится процессе от газа теплота. Так, например, из практики известно, что сжатие воздуха (двухатомный газ) в компрессоре, цилиндр, которого оборудован охлаждающей водяной рубашкой, осуществляется при показателе политропы n≈1,35.

В этом случае политропа сжатия воздуха (значение k для которого = 1,41) располагается между изотермой 1-4’ и адиабатной 1-5’ и k>n>1 (см. рис. 2), что можно было бы определить и логически.

Теоретически возможны два крайних случая процесса сжатия газа в компрессоре:

1. Выделяющаяся при сжатии газа теплота полностью отводится во внешнюю среду, и температура сжимаемого газа остается неизменной – изотермическое сжатие.

(Изотермическое сжатие возможно в том случае, когда процесс происходит бесконечно длительное время, при котором разность температур между сжигаемым газом и внешней средой dT=0).

2. Сжатие газа производится в цилиндре, стенки которого являются

a)

б)

Рис. 4. Области возможных политропных процессов (а) PY и TS (б) диаграммах

абсолютным теплоизолятором, и теплота, выделяющаяся при сжатии газа, полностью расходуется на нагрев сжимаемого газа (случай азиабатного сжатия).

В реальном компрессоре сжатие газа происходит за конечный (довольно небольшой) промежуток времени; стенки цилиндра компрессора выполняются из теплопроводного материала (охлаждаемого с внешней стороны водой). Поэтому в реальном компрессоре, чхотя и происходит теплообмен между сжатымнагревшимся газом и охлаждающей водой, в следствии быстро протекающего процесса сжатия он до конца пройти не успевает. При этом изменяются не только термические параметры T, p и V, но и энтропия газа S, т.е. наблюдается политропный процесс сжатия, который располагается между изотермным и адиабатным.

Пользуясь диаграммами (рис.2) , определим, как изменяются в данном процессе интересующие нас величины:

1) объем газа уменьшается – (ΔV<0);

2) работа сжатия газа – отрицательная (L << - >>), что следует из формулы ΔL=pΔV;

3) температура сжимаемого газа увеличивается – (ΔТ>0);

4) внутренняя энергия газа (ΔU>0) увеличивается, т.к. ΔU=cΔT;

5) давление газа, сжимаемого в компрессоре, возрастает (ΔР>0);

6) энтропия газа уменьшается (ΔS<0), поскольку его сжатие ведется с отводом теплоты (Δq<0 или q << - >>), а энтропия и теплота связаны соотношением dS=dq/T;

7) значение показателя политропы «n» находится в пределах k>n>1.

Удельная работа, Дж/кг, расширения газа в политропном процессе может быть определена по одной из следующих формул:

L_nn=1/(n-1)×(p₁V₁-p₂V₂)=R/(n-1)×(T₁-T₂)=RT₁/(n-1)×(1-T₂/T₁)=

p₁V p₁V₁

= ———[1- (V₁/ V₂) ^n-1 ]= ———[1- (P₂/ P₁) ^(n-1)/n ] (17)

n-1 n-1

Удельная теплота, Дж/кг, политропного процесса

q = c(T₂-T₁) = c_V (n-k)/(n-1)×(T₂-T₁) (18)

и изменение энтропии газа, Дж/(кг×К),

(S₂-S₁) = c_V (n-k)/(n-1) ln T₂/T₁ (19)

Для определения показателя политропы n в каком-либо реальном процессе имеются достаточно простые способы. Так, если располагаем индикаторной диаграммой процесса (см. рис. 2,а), то для определения среднего значения n, например в процессе 1-6, используется уравнение (10) для двух точек, в которых значение параметров p и V известно:

p₁V₁ⁿ= p₆V₆n

После логарифмирования имеем

lg p₁+ n lg V₁= lg p₆+ n lg V₆

откуда

lg p₆ - lg p₁

n = —————, (20)

lg V₁- lg V₆

Порядок выполнения лабораторной работы

Определение показателя политропы n для воздуха при его расширении проводится на лабораторной установке в такой последовательности (рис. 5):

С помощью вентилятора в баллон 1 при открытом кране 2 нагнетается воздух.

2. После создания внутри баллона избыточного давления Р_м1=1000 Н/м² кран 2 закрывают, а вентилятор отсоединяют от нагнетательного патрубка.

3. Поскольку температура нагнетаемого воздуха в результате его сжатия окажется несколько выше температуры окружающей сред, то для устранения этой разности делают некоторую выдержку (не менее пяти минут). При этом имеет место изохорный процесс – снижение температуры воздуха внутри баллона, имеющего постоянный объем. Для изохорного процесса соотношение термических параметров р и Т выражается уравнением

Рис. 5. Схема лабораторной установки к работе 2:

1 – стеклянный сосуд; 2 – пропковый запорный кран; 3 – образный жидкостный манометр

Т₂ / Т₁ = Р₂ / Р₁ (21)

О моменте выравнивания температуры сжатого в баллоне воздуха с температурой окружающей среды сулят по окончанию измерения давление внутри сосуда, которое определяется с помощью U – образного манометра 3. Избыточное давление сжатого воздуха при этом несколько снижается с Р_м1 до Р₃.

4. Открывают кран 2. В результате расширения газа давление в баллоне падает до атмосферного. При этом температура воздуха, находящегося в баллоне, снижается. Снижение температуры газа при его расширении обусловлено тем, что работа расширения совершается за счет внутренней энергии, т.е. ее уменьшения. Внутренняя энергия газа с его температурой связана соотношением U=cvT.

5. Кран 2 закрывают. Затем производят выдержку (не менее пяти минут) с целью выравнивания температуры воздуха в баллоне с температурой наружной среды. При этом в баллоне протекает изотермический процесс (при подводе теплоты из внешней среды к воздуху, находящемуся в баллоне).

О моменте выравнивания температуры газа в баллоне и наружного воздуха судят по окончанию измерения внутри баллона давления, определяемого с помощью U – образного манометра.

Абсолютное давление Р₃ в баллоне становится больше атмосферного Р_б на величину Р_м3.

Показатель политропы для исследуемого газа в политропном процессе подсчитывается исходя из следующих соображений.

В результате адиабатного расширения газа соотношение термических параметров Т и Р выразится уравнением (12).

Т₂ / Т₁ = (Р₂ / Р₁)^(n-1)/n (22)

Вслед за адиабатным процессом расширения следует изохорный процесс нагревания газа, для которого согласно (20), соотношение параметров Т и Р выразится уравнением

Т₂ / Т₃ = (Р₂ / Р₃) (23)

Однако по условию опыта Т1=Т3 =Токр, следовательно имеем

Р₂ / Р₃ = (Р₂ / Р₁)^(n-1)/n или (Р / Р₁)^(n-1)/n =Р_б / Р₃ (24)

Пролагорифмируем последнее выражение:

(n-1)/n lg (Р_б / Р₁)= lg (Р_б / Р₃ ),

или

n lg (Р_б / Р₁) - n lg (Р_б / Р₃)= lg (Р_б / Р₁ ),

откуда

lg Р₁ - lg Р_б

n= −−−−−−−−−−, (25)

lg Р₁ - lg Р₃

где Р₁ = Р_б + Рм₁; Р_б- барометрическое давление в момент опыта; Р_м1- избыточное (манометрическое) давление газа в баллоне перед его расширением; Р₃ = Р_б + Рм₃; Р_м3 - избыточное (манометрическое) давление газа в баллоне после его расширения и последующего за ним изохорного нагревания.

По указанию руководителя величины Р₁, Р_б и Р₃ в формуле (25) подставляют в одной из следующих единиц измерения: Н/м²; мм вод.ст. (кгс/м²); мм рт ст и др.

В отчете по лабораторной работе следует привести следующие данные:

1.) цель и порядок выполнения работы;

2.) схему лабораторной установки;

3.) результаты опытных данных, сведенные в таблице 5;

4.) изображение процесса изменения состояния газа в эксперименте в p v Ts– координатах и его сравнение с изохорным, изобарным, изотермным и адиабатным.

Таблица 5

Данные опыта	Индекс	Размерность	Величина
Барометрическое давление в момент опыта	Рб
Избыточное (манометрическое) давление в баллоне перед расширением газа	Рм1
Абсолютное давление в баллоне перед расширением газа	Р1
Избыточное (манометрическое) давление в баллоне после расширения газа и его изохорного нагревания	Рм2
Абсолютное давление в баллоне перед расширением газа и его изохорного нагревания	Р3
Показатель адиабаты исследуемого газа	k
Показатель политропы, полученный в опыте	n

Контрольные вопросы

1. Порядок выполнения лабораторной работы.

2. Термодинамические (политропные и частные) процессы, наблюдаемые в природе и технике.

3. Соотношение термических параметров в политропном процессе.

4. Теплоемкость политропного и частных термодинамических процессов.

5. Соотношение удельных теплоемкостей изобарного и изохорного процессов (уравнение Майера и показатель адиабаты).

6. Изображение политропных процессов в pv и Ts - координатах и сравнение их с частными термодинамическими процессами.

7. Определение показателя политропы по индикаторной диаграмме процесса.

Литература

/4/, с. 25-55; /5/, с. 57-58.