Общая схема исследования функции.

1. а) Найти область определения функции .

б) Найти точки разрыва функции и интервалы непрерывности.

в) Исследовать поведение функции в окрестностях точек разрыва; найти вертикальные асимптоты.

г) Найти точки пересечения графика с осями координат, интервалы знакопостоянства функции.

д) Исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность.

2. Установить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума и экстремальные значения.

3. Установить интервалы выпуклости и вогнутости функции; найти точки перегиба.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности. Найти наклонные (в частности, горизонтальные ) асимптоты.

5. Построить график функции.

Замечания.

1. Выполнение 4–го раздела иногда удобно производить вместе с первым, когда выясняется общая картина поведения функции.

2. Выполнение всех разделов следует сопровождать постепенным построением графика функции. При этом, прежде всего, нужно на оси ОХ выделить характерные точки, к которым относятся: точки разрыва, нули, точки экстремума, абсциссы точек перегиба. На плоскости ОХУ отмечаются точки графика, соответствующие этим выделенным значениям аргумента.

Пример 1.

Построить график функции у = (х + 5) .

Решение.

Область определения функции (– ,+ ). Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

Вертикальных асимптот нет; k_1,2 = = = , наклонных асимптот нет.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической.

(х) = . (х) = 0 при х = –2, (х) не существует при х = 0.

х	(– ,–2)	–2	(–2,0)	0	(0,+ )
Знак (х)	+	= 0	–	= +	+
Поведение функции	Возрастает	max 3	Убывает	min 0	Возрастает

= ; = 0 при х = 1, не существует при х = 0.

х	(– ,0)	0	(0,1)	1	(1,+ )
Знак	–	= –	–	= 0	+
Поведение функции	Выпукла	Не является точкой перегиба	Выпукла	Точка перегиба у = 6	Вогнута

у( х)= 0 при х = 0 и х = –5.

Строим график функции (рис.13 ).

Рис. 13

Пример 2.

Построить график функции у = .

Решение.

Область определения функции – любое число, кроме х = 1 и х =–1. Для значений х > 1 и –1 < х < 0 функция отрицательна, для значений х < –1 и 0 < х < 1 – положительна. Функция непрерывна на (– ,–1), (–1,1), (1,+ ).

Т. к. у(x)=– , у(x)=+ , у(x)=+ , у(x)=– , то прямые х = 1 и х = –1 – вертикальные асимптоты.

(х) = , х –1,1.

(х) = 0 при х₁ = 0 , х₂ = , х₃= – .

х	(– ,– )	–	(– , –1)	–1	(–1,0)
Знак (х)	–	0	+		+
Поведение функции	Убывает	min	Возрастает		Возрастает

0	(0,1)	1	(1, )		( ,+)
	+		+	0	–
Нет extr	Возрастает		Возрастает	max	Убывает

В точках х = 1 и х = -1 производная (х) не существует, они не являются точками экстремума, т.к. в них функция терпит разрыв.

Находим вторую производную: = , х –1,1. Исследуем её знаки:

х	(– ,–1)	–1	(–1,0)	0	(0, 1)	1	(1,+ )
Знак	+	не сущ.	–	0	+	не сущ.	–
Поведение функции	Вогнута		Выпукла	Точка перегиба	Вогнута		Выпукла

Поскольку k_1,2 = = = –1; b_1,2 = ( f(x) - k₁x ) =

= = 0, то у = –х правая и левая асимптоты.

Строим график (рис. 14 ).

Рис. 14

Пример 3. Построить график функции у = .

Решение. Функция определена для всех х, кроме х = 0. Для значений х > 0 функция положительна, а для значений х < 0 отрицательна.

Функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0, причём = + , = – . Следовательно, прямая х= 0 является вертикальной асимптотой.

Для всех х, отличных от х = 0, имеем (х) = . (х) = 0 в точке х = 1. На интервалах (– ,0) и (0,1) производная (х) > 0 и, следовательно, функция возрастает. Точка х=1 является точкой локального минимума, причём у(1) = е.

= .

Выражение х² – 2х + 2 = ( х – 1)² + 1 > 0 для любых х, поэтому на интервале (- ,0) < 0, а на интервале (0,+ ) > 0, следовательно, на интервале (- ,0) функция выпукла, а на интервале (0,+ ) –вогнута. Точек перегиба нет.

Найдем наклонные асимптоты:

k₁ = = = + , k₂= = = 0, b₂ = = 0.

Следовательно, у =0 – горизонтальная асимптота при х .

Пользуясь результатами исследования, строим график (рис. 15 ).

Рис. 15

Пример 4. Исследуем функцию у = .

1. Функция определена и непрерывна на всей оси ОХ. Т. к. у > 0 при всех х, то график целиком лежит над осью абсцисс. Функция чётная; значит, график симметричен относительно оси ОУ. При х → ∞ функция стремится к 0, поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой.

2. .

В интервале (– ,0) (х) > 0 функция возрастает.

В интервале (0, + ) (х) < 0 функция убывает.

В точке х = 0 – максимум ; у(0) = 1, и это значение является наибольшим значением функции.

По найденным данным уже можно схематически строить график функции. При его построении станет ясно, что имеются точки перегиба; найдём их.

3. = ∙ (х² – 1).

Корнями уравнения = 0 служат точки х = 1 и х =–1. Знак второй производной зависит только от знака второго множителя: он положительный в интервалах (– ,–1) и (1,+ ) и отрицательный в интервале (–1,1). Значит, в двух крайних интервалах график функции вогнутый, а в среднем интервале – выпуклый. Значение функции в точках перегиба равно

у (–1) = у (1) = 0,6065.

Строим график функции (рис. 16). Исследуемая функция очень часто встречается при изучении теории вероятностей.

Рис. 16