Задания.

1. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

1. (1,2,3); (-1,3,2); (7,-3,5); (6,10,17).

2. (4,7,8); (9,1,3); (2,-4,1); (1,-13,-13).

3. (8,2,3); (4,6,10); (3,-2,1); (7,4,11).

4. (10,3,1); (1,4,2); (3,9,2); (19,30,7).

5. (2,4,1); (1,3,6); (5,3,1); (24,20,6).

6. (1,7,3); (3,4,2); (4,8,5); (7,32,14).

7. (1,-2,3); (4,7,2); (6,4,2); (14,18,6).

8. (1,4,3); (6,8,5); (3,1,4); (21,18,33).

9. (2,7,3); (3,1,8); (2,-7,4); (16,14,27).

10. (7,2,1); (4,3,5); (3,4,-2); (2,-5,-13).

2. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды ; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань . Сделать чертеж.

11. (4,2,5); (0,7,2); (0,2,7); (1,5,0).

12. (4,4,10); (4,10,2); (2,8,4); (9,6,4).

13. (4,6,5); (6,9,4); (2,10,10); (7,5,9).

14. (3,5,4); (8,7,4); (5,10,4); (4,7,8).

15. (10,6,6); (-2,8,2); (6,8,9); (7,10,3).

16. (1,8,2); (5,2,6); (5,7,4); (4,10,9).

17. (6,6,5); (4,9,5); (4,6,11); (6,9,3).

18. (7,2,2); (5,7,7); (5,3,1); (2,3,7).

19. (8,6,4); (10,5,5); (5,6,8); (8,10,7).

20. (7,7,3); (6,5,8); (3,5,8); (8,4,1).

3. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

5. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от до и придавая значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

6. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

7. Дано комплексное число . Требуется: 1) записать число в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .

61. .

62. ,

63. ,

64. ,

65. ,

66. ,

67. ,

68. ,

69. ,

70. .

8. Дана система линейных уравнений. Решить ее методом Гаусса.

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

9. Вычислить определитель: 1) путем разложения его по элементам ряда; 2) получив предварительно нули в первом столбце.

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

69. 

70. 

№10. Задачи 91-95. Финансово-промышленная группа продаёт два вида пакетов акций, состоящих из акций трёх акционерных обществ: "Альфа", "Бета", "Гамма". Один пакет 1-го вида состоит из а₁ акций АО "Альфа", а₂ акций АО "Бета", а₃ акций "Гамма". Один пакет второго вида состоит из b₁ акций АО "Альфа", b₂ акций АО "Бета", b₃ акций "Гамма".

Финансово-промышленная группа располагает следующим запасом акций: d₁ акций АО "Альфа", d₂ акций АО "Бета", d₃ акций "Гамма". Прибыль от продажи одного пакета первого вида составляет α тыс. руб., одного пакета второго вида – β тыс. руб. Найти план продажи пакетов акций, обеспечивающий наибольшую прибыль. Задачу решить симплексным и геометрическим методами.

91	а1=10, а2=10, а3=30,	b1=10, b2=30, b3=10,	d1=800, d2=1800, d3=1800,	α=5, β=4.
92	а1=15, а2=10, а3=20,	b1=15, b2=20, b3=10,	d1=750, d2=800, d3=800,	α=2, β=3.
93	а1=8, а2=5, а3=10,	b1=8, b2=10, b3=5,	d1=800, d2=950, d3=950,	α=3, β=4.
94	а1=5, а2=5, а3=10,	b1=5, b2=10, b3=5,	d1=250, d2=400, d3=400,	α=3, β=4.
95	а1=16, а2=16, а3=8,	b1=16, b2=8, b3=16,	d1=480, d2=400, d3=400,	α=4, β=5.

Задачи 96-100. На производство двух видов продукции А и В используется три типа ресурсов. На производство единицы продукции А используется а₁ ед. первого ресурса, а₂ ед. – второго ресурса, а₃ ед. третьего ресурса. На производство единицы продукции В используется b₁ ед. первого ресурса, b₂ ед. второго ресурса, b₃ ед. – третьего ресурса. Запасы первого, второго, третьего типов ресурсов d₁, d₂, d₃. Прибыль от реализации единицы продукции А и В соответственно равна α и β усл. ед. Составить план производства продукции А и В, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Задачу решить симплексным и геометрическим методами.

96. а₁=16, b₁=4, d₁=784, α=4,

а₂=8, b₂=7, d₂=552,

а₃=5, b₃=9, d₃=567, β=6.

97. а₁=12, b₁=3, d₁=684, α=6,

а₂=10, b₂=5, d₂=690,

а₃=3, b₃=6, d₃=558, β=2.

98. а₁=8, b₁=3, d₁=861, α=2,

а₂=7, b₂=6, d₂=864,

а₃=4, b₃=9, d₃=945, β=3.

99. а₁=9, b₁=5, d₁=1431, α=3,

а₂=7, b₂=8, d₂=1224,

а₃=4, b₃=16, d₃=1328, β=2.

100. а₁=6, b₁=3, d₁=714, α=3,

а₂=5, b₂=10, d₂=910,

а₃=3, b₃=12, d₃=948, β=9.

№11. Имеются три пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и пять пунктов В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ потребления этого груза. На пунктах А₁, А₂, А₃ находится груз соответственно в количестве а₁, а₂, а₃ тонн. В пункты В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ требуется доставить соответственно b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ тонн груза. Затраты на перевозку 1 тонны груза между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в матрице Д (в рублях), где d_ij - есть стоимость в рублях перевозки 1 тонны груза от поставщика с номером i ( i = 1, 2, 3) к потребителю с номером j (j = 1, 2, 3, 4, 5).

Составить план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты на перевозки были минимальными.

101.

а1 = 200, b1 = 100, а2 = 175, b2 = 130, а3 = 225, b3 = 80, b4 = 190, b5 = 100

102.

а1 = 200, b1 = 100, а2 = 450, b2 = 125, а3 = 250, b3 = 325, b4 = 250, b5 = 100

103.

а1 = 250, b1 = 120, а2 = 200, b2 = 130, а3 = 200, b3 = 100, b4 = 160, b5 = 140

104.

а1 = 350, b1 = 210, а2 = 330, b2 = 170, а3 = 270, b3 = 220, b4 = 150, b5 = 200

105.

а1 = 300, b1 = 210, а2 = 250, b2 = 150, а3 = 200, b3 = 120, b4 = 135, b5 = 135

106.

а1 = 350, b1 = 170, а2 = 200, b2 = 140, а3 = 300, b3 = 200, b4 = 195, b5 = 145

107.

а1 = 200, b1 = 190, а2 = 250, b2 = 100, а3 = 200, b3 = 120, b4 = 110, b5 = 130

108.

а1 = 230, b1 = 140, а2 = 250, b2 = 90, а3 = 170, b3 = 160, b4 = 110, b5 = 150

109.

а1 = 200, b1 = 210, а2 = 300, b2 = 150, а3 = 250, b3 = 120, b4 = 135, b5 = 135

110.

а1 = 200, b1 = 270, а2 = 350, b2 = 130, а3 = 300, b3 = 190, b4 = 150, b5 = 110