5

того, що лiтаку, що прибув другим, не доведеться очiкувати розвантаження, якщо

на розвантаження кожного лiтака необхiдно 10 хв.

17. Кожне з двох дiйсних додатних чисел не бiльше 4. Знайти ймовiрнiсть того, що їх добуток виявиться не бiльше 4.

18. Два пароплави повиннi пiдiйти до одного i того ж причалу. Час прибуття обох пароплавiв незалежний i рiвноможливий на протязi однiєї доби. Знайти ймовiрнiсть того, що одному з пароплавiв доведеться очiкувати звiльнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава одна година, другого двi години.

^{19. З вiдрiзка [−1; 2] випадковим чином вибранi два числа. Знайти ймовiрнiсть}

того, що їх сума бiльше одиницi, а добуток менше одиницi.

20. На вiдрiзку довжиною 12 см випадковим чином вибранi двi точки. Знайти ймовiрнiсть того, що вiдстань мiж ними буде менше 5 см.

21. Два дiйснi числа вибираються випадковим чином з вiдрiзка [0; 4]. Знайти ймо- вiрнiсть того, що їх сума бiльше 4, а рiзниця менше 2.

22. Екiпажам двох лiтакiв необхiдно передати повiдомлення по радiо в будь-який час вiд 8⁰⁰ до 8¹⁰ . Час, необхiдний на передачу повiдомлення, 2 хв. Знайти ймо- вiрнiсть того, що повiдомлення не перетинатимуться у часi, якщо для кожного з екiпажiв рiвноймовiрно почати передачу в будь-який момент у вказаних межах.

^{23. Двi дiйснi числа p i q вибираються випадковим чином з iнтервалу (−1; 1).}

^{Знайти ймовiрнiсть того, що рiвняння x2 + px + q = 0 має дiйснi коренi.}

^{24. На колi радiуса R випадковим чином вибираються три точки M , N i P . Знайти}

^{ймовiрнiсть того, що трикутник M N P гострокутний.}

25. Кожен з трьох робiтникiв виготовляє на протязi змiни не бiльше 100 виробiв.

Знайти ймовiрнiсть того, що цi робiтники разом виготовлять за змiну бiльше 100

виробiв.

26. Два дiйснi числа вибираються випадковим чином з вiдрiзка [0; 4]. Знайти ймо- вiрнiсть того, що їх сума бiльше 4, а добуток менше 4.

27. Кожен з 200 пасажирiв придбав квиток на один з трьох авiарейсiв. Знайти ймо- вiрнiсть того, що на кожному рейсi виявиться не менше 50 пасажирiв, якщо кiлькiсть мiсць у кожному лiтаку 200.

28. Два дiйснi числа p I q випадковим чином вибираються з iнтервалу (−2; 2).

^{Знайти ймовiрнiсть того, що рiвняння x2 + px + q = 0 не має дiйсних коренiв.}

^{29. В прямокутнику {(x, y) : 0 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ 1} випадковим чином вибрана}

^{точка. Знайти ймовiрнiсть попадання точки в область, обмежену лiнiями: y = 0,}

^{y = ln x, x = e.}

30. На кожнiй з двох поточних лiнiй на протязi змiни виготовляється не бiльше

15 виробiв. Знайти ймовiрнiсть того, що загальна кiлькiсть виробiв, виготовлених на обох лiнiях, буде знаходитись в межах вiд 24 до 28.

3. Теореми додавання i множення ймовiрностей

1. Два стрiльцi стрiляють по мiшенi один раз. Ймовiрнiсть попадання в мiшень для першого стрiльця при одному пострiлi дорiвнює 0,6, для другого 0,7. Зна- йти ймовiрнiсть того, що в мiшень попаде: а) хоч би один стрiлець; б) тiльки один стрiлець; в) обидва стрiльцi.

2. Три студенти складають iспит. Ймовiрнiсть того, що перший студент складе iспит дорiвнює 0,9, другий 0,7, третiй 0,6. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) два студенти складуть iспит; б) всi три студенти складуть iспит; в) хоч би один студент складе iспит.

3. Робiтник обслуговує три верстати. Ймовiрнiсть того, що протягом деякого часу t його уваги потребуватиме перший верстат дорiвнює 0,8, другий 0,7, третiй 0,6. Знайти ймовiрнiсть того, що протягом часу t уваги робiтника: а) не потребуватиме жоден верстат; б) потребуватиме хоч би один верстат; в) потребуватиме який-небудь

один верстат.

4. Ймовiрнiсть того, що студент вiдповiсть на перше питання з трьох в екзамена- цiйному бiлетi дорiвнює 0,9, на друге 0,8, на трете 0,7. Визначити ймовiрнiсть того, що студент складе екзамен, якщо для цього необхiдно вiдповiсти: а) на всi три питання; б) хоч би на два питання.

5. Робiтник обслуговує три верстати. Ймовiрнiсть того, що протягом години вiн буде обслуговувати перший верстат дорiвнює 0,7, другий 0,6, третiй 0,5. Ви- значити ймовiрнiсть того, що протягом години вiн буде обслуговувати: а) всi три верстати; б) який-небудь верстат; в) хоч би один верстат.

6. Три студенти здають екзамен. Ймовiрнiсть здати на "вiдмiнно"для першого студента дорiвнює 0,8, для другого 0,6, для третього 0,5. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) тiльки два студенти складуть екзамен на "вiдмiнно"; б) хоч би один студент складе екзамен на "вiдмiнно".

7. З трьох гармат зробили залп по цiлi. Ймовiрностi враження цiлi першою, дру- гою i третьою гарматами вiдповiдно дорiвнюють 0,7; 0,6; 0,9. Знайти ймовiрнiсть того, що в цiль влучить: а) тiльки один снаряд; б) тiльки два снаряди; в) всi три снаряди.

8. Для сигналiзацiї про аварiю встановлено три незалежно працюючi пристрої. Ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацює перший пристрiй, дорiвнює 0,6, другий

0,9 i третiй 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацюють: а) тiльки один пристрiй; б) хоч би один пристрiй; в) жоден не спрацює.

9. Три стрiльцi в однакових i незалежних умовах зробили по одному пострiлу по однiй i тiй же мiшенi. Ймовiрнiсть попадання в мiшень першим стрiльцем дорiв- нює 0,9, другим 0,8, третiм 0,7. Знайти ймовiрнiсть того, що; а) тiльки один з стрiльцiв попаде в мiшень; б) тiльки два стрiльцi попадуть в мiшень; в) хоч би один стрiлець попаде в мiшень.

10. Студент знає 45 з 60 питань програми. Кожен екзаменацiйний бiлет мiстить три питання. Знайти ймовiрнiсть того, що студент вiдповiсть: а) на всi три питання; б) тiльки на два питання; в) тiльки на одне питання.

7

11. З трьох гармат зроблений залп по цiлi. Ймовiрнiсть влучення при одному

пострiлi з першої гармати дорiвнює 0,8, з другої 0,7, з третьої - 0,9. Знайти ймо- вiрнiсть того, що: а) жодна гармата не влучить; б) тiльки одна гармата влучить; в) хоч би одна гармата влучить.

12. Студент знає 30 з 40 питань програми. У бiлетi мiститься три питання. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) студент знає вiдповiдь на всi три питання; б) тiльки на два питання; в) хоч би на два питання.

13. Два стрiльцi зробили по одному пострiлу в мiшень. Ймовiрнiсть влучення в мiшень першим стрiльцем дорiвнює 0,9, другим 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) обидва стрiльцi влучать в мiшень; б) жоден не влучить; в) тiльки один стрiлець влучить в мiшень; г) хоч би один з стрiльцiв влучить в мiшень.

14. Для сигналiзацiї про аварiю встановлено три незалежно працюючi пристрої. Ймовiрнiсть того, що перший пристрiй спрацює, дорiвнює 0,8; для другого i третього цi ймовiрностi вiдповiдно дорiвнюють 0,9 i 0,7. Знайти ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацюють: а) тiльки один пристрiй; б) жоден не спрацює; в) хоч би один пристрiй.

15. Два стрiльцi стрiляють в мiшень. Ймовiрнiсть попадання в мiшень першим стрiльцем при одному пострiлi дорiвнює 0,6, другим 0,8. Знаючи, що кожен стрi- лець стрiляє один раз, знайти ймовiрнiсть того, що: а) обидва стрiльцi попадуть в мiшень; б) в мiшень попаде тiльки другий стрiлець; в) хоч би один з стрiльцiв попаде в мiшень.

16. Студент знає 40 з 50 питань програми. Знайти ймовiрнiсть того, що студент знає вiдповiдь: а) на всi три питання, що мiстяться в бiлетi; б) на два питання; в) хоч би на два питання.

17. Десять мисливцiв стрiляють по черзi в одну i ту ж мiшень, проводячи по одно- му пострiлу. Пiсля першого попадання мiшень руйнується i стрiльба припиняється. Ймовiрнiсть попадання в мiшень для перших п’яти мисливцiв дорiвнює 0,4, а для iнших п’яти мисливцiв 0,7. Яка ймовiрнiсть того, що попадає в мiшень: а) перший мисливець; б) п’ятий; в) сьомий?

18. Три стрiльцi зробили по одному пострiлу в мiшень. Ймовiрнiсть попадання в мiшень для кожного стрiльця дорiвнює 0,9. Знати, ймовiрнiсть того, що: а) всi три стрiльцi попадуть в мiшень; б) тiльки два попадуть в мiшень; в) хоч би один стрiлець попаде в мiшень.

19. Вiд вокзалу до аеропорту вiдправилися два автобуси. Ймовiрнiсть своєчасного прибуття кожного автобусу в аеропорт дорiвнює 0,9. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) обидва автобуси прибудуть вчасно; б) тiльки один автобус прибуде вчасно; в) хоч би один автобус прибуде вчасно; г) жоден з автобусiв не прибуде вчасно.

20. Три стрiльцi зробили залп по мiшенi. Ймовiрнiсть попадання в мiшень для першого стрiльця дорiвнює 0,7, для другого 0,8, для третього 0,9. Знайти ймо- вiрнiсть того, що: а) хоч би один стрiлець попаде в мiшень; б) тiльки два стрiльцi попадуть в мiшень; в) всi три стрiльцi попадуть в мiшень.

^{21. Робiтник обслуговує три верстати. Ймовiрнiсть того, що протягом часу t вiн}

обслуговуватиме перший верстат дорiвнює 0,5, другий 0,6, третiй 0,7. Знайти

ймовiрнiсть того, що протягом часу t: а) робiтник не обслуговуватиме жоден верстат; б) робiтник обслуговуватиме хоч би один верстат; в) робiтник обслуговуватиме тiльки два верстати.

22. Вiд вокзалу до аеропорту вiдправилися два автобуси. Ймовiрнiсть своєчасного

прибуття першого автобуса дорiвнює 0,95, другого 0,9. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) обидва автобуси спiзняться; б) тiльки один прибуде вчасно; в) хоч би один прибуде вчасно.

23. Три стрiльцi стрiляють в мiшень. Ймовiрнiсть влучення для першого стрiльця при одному пострiлi дорiвнює 0,8, для другого 0,7, для третього 0,6. Знаючи, цю кожен стрiлець стрiляє один раз, знайти ймовiрнiсть того, що: а) всi три не влучать; б) хоч би один влучить; в) тiльки один влучить в мiшень.

24. Студент знає 50 з 60 питань програми. Кожен екзаменацiйний бiлет мiстить три питання. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) студент знає вiдповiдь на всi три пи- тання; б) на два питання; в) хоч би на два питання.

25. З трьох гармат зроблений залп по цiлi. Ймовiрнiсть влучення при одному пострiлi з першої гармати дорiвнює 0,9, з другої 0,7, i третьої 0,8. Знайти ймо- вiрнiсть того, що: а) тiльки друга i третя влучать; б) тiльки одна гармата влучить; в) всi три влучать.

26. Для сигналiзацiї про аварiю встановленi три незалежно працюючi пристрої. Ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацює перший пристрiй дорiвнює 0,95, другий

0,9, третiй 0,8. Знайти ймовiрнiсть того, що при аварiї спрацюють: а) тiльки один пристрiй; б) хоч би один; в) жоден не спрацює.

27. Ймовiрнiсть того, що студент вiдповiсть на перше з трьох питань екзамена- цiйного бiлету дорiвнює 0,9, на другий 0,8, на третiй 0,7. Знайти ймовiрнiсть того, що студент складе екзамен, якщо для цього йому треба вiдповiсти: а) на всi три питання; б) хоч би на два питання.

28. З чотирьох гармат зроблений залп по цiлi. Ймовiрностi влучення для першої, другої, третьої i четвертої гармат вiдповiдно рiвнi 0,9; 0,8; 0,7 i 0,6. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) всi чотири гармати влучать; б) жодна не влучить; в) хоч би одна влучить.

29. Оператор обслуговує три станки. Ймовiрнiсть того, що протягом години вiн буде обслуговувати перший станок, дорiвнює 0,7, другий 0,6, третiй 0,5. Знайти ймовiрнiсть того, що протягом години оператор обслуговуватиме: а) тiльки один станок; б) хоч би один станок; в) тiльки другий i перший станки.

30. Три студенти складають екзамен. Ймовiрнiсть того, що перший студент складе екзамен, дорiвнює 0,9, другий 0,8, третiй 0,7. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) тiльки перший студент складе екзамен; б) тiльки другий i третiй складуть екзамен; в) всi три студенти складуть екзамен.