Получение чисел подобия методом анализа размерности
В теории размерности большое значение
имеет теорема, известная под названием
«
»
теорема. Рассмотрим эту теорему.
Теорема: Если определяемый безразмерный
комплекс зависит от n
размерных параметров, размерности
которых составлены из k
независимых единиц измерения, то этот
безразмерный комплекс всегда можно
выразить через
безразмерных комплексов, составленных
из различных комбинаций размерных
параметров.
Математически эту теорему можно сформулировать следующим образом. Пусть величина А зависит от n размерных параметров:
. (4.124)
Из этих n параметров k параметров имеют независимые размерности. Поэтому можно записать:
(4.125)
Тогда согласно теореме можно образовать следующие безразмерные комплексы:
(4.126)
Причем безразмерный комплекс
выразится через
безразмерных комплекса, то есть:
. (4.127)
Независимость размерностей величин в условии теоремы означает, что ни одна из этих размерностей не может быть представлена в виде степенного одночлена из размерностей других величин.
Если
,
то есть число определяющих параметров
равно числу основных единиц измерения,
то функциональная зависимость полностью
определена с точностью до постоянного
безразмерного множителя С:
. (4.128)
Если
,
то система определяющих параметров
называется неполной. В этом случае из
параметров
нельзя образовать безразмерные комбинации
типа (4.126).
При перечислении параметров , определяющих класс явлений, необходимо указывать все размерные параметры, связанные с существом явления, независимо от того, постоянны они или переменны. Важно, что параметры могут принимать различные численные значения в разных системах единиц измерения.
Для применения теории размерности нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения термомеханической системы. Для одной и той же системы определяющих параметров могут быть различные уравнения движения. Уравнения движения не только показывают, от каких параметров зависят искомые величины, но содержат в себе потенциально все функциональные связи, определение которых составляет математическую задачу. Из этих соображений следует, что теория размерности по существу ограничена. С помощью одной только теории размерности невозможно определить функциональные соотношения между безразмерными величинами.