1.5 Параметрическая оценка функции плотности распределения

Предположим, что статистические наблюдения принадлежат к

нормальному закону распределения с функцией плотности в виде:

Где и известны – они вычисляются по выборке.

= 0,975 = 13,11

Значения этой функции вычисляются для середины частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при х = . На практике для упрощения вычислений функции , где i = 1,2,…, k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения для i = 1,2,…, k, затем по таблице находим значение .

Z₁ = (x₁-x)/ σ = (11.38 – 13.11) /0,975 = -1,77

Z₂ = (x₂-x)/ σ = (11,98-13.11)/ 0,975 = -1,16

Z_{3 =} (x₃-x)/ σ = (12,58-13,11)/0,975 = -0,544

Z_{4 =} (x₄-x)/ σ = (13,18-13,11)/0,975 = 0,072

Z_{5 =} (x₅-x)/ σ = (13,78-13,11)/0,975 = 0,69

Z_{6 =} (x₆-x)/ σ = (14,38-13,11)/0,975 = 1,3

Z_{7 =} (x₇-x)/ σ = (14,98 – 13,11)/0,975 = 1,918

Z_{8 =} (x₈-x)/ σ = (15,58-13,11)/0,975 = 2,53

По таблице находим значение f(z_i):

= 0,0833

= 0,2036

= 0,3448

= 0,3980

= 0,3144

= 0,1714

= 0,0644

= 0,0163

И после вычисляем функцию:

_{φ ( 1) = 1 / σ = 0,0833/ 0,975 = 0,09}

_{φ ( 2) = 2 / σ = 0,2036/ 0,975 = 0,21}

_{φ ( 3) = 3 / σ = 0,3448/0,975 = 0,35}

φ ( ₄) = ₄ / σ = 0,3980/0,975 = 0,41

φ ( ₅) = ₅ / σ = 0,3144/0,975 = 0,32

φ ( ₆) = ₆ / σ = 0 ,1714/ 0,975 = 0,18

φ ( ₇) = ₇ / σ = 0,0644/0,975 = 0,07

φ ( ₈) = ₈ / σ = 0,0163/ 0,975 = 0,02

Функция , вычисленная при заданных параметрах и в середине частичного интервала, фактически является теоретической относительной частотой, отнесенной к середине частичного интервала.

Поэтому для определения теоретической частоты , распределенной по всей ширине интервала, эту функцию необходимо умножить на .

где h = 0,6

р^T_{1 = 0,6*0,09 = 0,054}

_р^T_{2 = 0,6*0,21 = 0,126}

_р^T_{3 = 0,6*0,35 = 0,21}

_р^T_{4 = 0,6*0,41 = 0,246}

_р^T_{5 = 0,6*0,32 = 0,192}

_р^T_{6 = 0,6*0,18 = 0,108}

_р^T_{7 = 0,6*0,07 = 0,042}

_р^T_{8 = 0,6*0,02 = 0,012}

_{где N = 60}

n^T_{1 = 0,09* 60 = 5,4}

_n^T_{2 = 0,21*60 = 12,6}

n^T_{3 = 0,35*60 = 21}

n^T_{4 = 0,41*60 = 24,6}

n^T_{5 = 0,32*60 = 19,2}

n^T_{6 = 0,18*60} = 10,8

n^T_{7 = 0,07*60 = 4,2}

n^T_{8 = 0,02*60 = 1,2}

[xi-1; xi)
[11,08;11,68)	4	11,38	0,0667	0,1111	-1,77	0,09	0,054	5,4
[11,68;12,28)	11	11,98	0,1833	0,3056	-1,16	0,21	0,126	12,6
[12,28;12,88)	14	12,58	0,2333	0,3889	-0,544	0,35	0,21	21
[12,88;13,48)	11	13,18	0,1833	0,3056	0,022	0,41	0,246	24,6
[13,48;14,08)	7	13,78	0,1167	0,1944	0,69	0,32	0,192	19,2
[14,08;14,68)	7	14,38	0,1167	0,1944	1,3	0,18	0,108	10,8
[14,68;15,28)	5	14,98	0,0833	0,1389	1,918	0,07	0,042	4,2
[15,28;15,88)	1	15,58	0,0167	0,0278	2,53	0,02	0,012	1,2
Σ	60		1				0,99	99

Построим графики экспериментальной и теоретической плотности

нормального распределения (рис. 1.5.1).

15