1.2. Предел

Содержательно понятие предела означает, что переменная величина, зависящая от другой переменной величины, изменяющейся определенным образом, неограниченно близко приближается к определенному постоянному значению. С пределом, или предельным переходом, связаны фундаментальные понятия математического анализа: непрерывность, производная, интеграл и др. Простейшим случаем предела является предел последовательности действительных чисел.

Последовательность действительных чисел {x_n} называется сходящейся к числу А, если для любого   0 существует такое натуральное число N, что для всех n  N выполняется условие  .

Формальная запись:  N n n>N  |x_n - A|  .

При этом говорят также, что число А является пределом данной последовательности и пишут

или .

Если последовательность не является сходящейся, ее называют расходящейся.

Е сли последовательность {x_n} бесконечно большая (а следовательно, расходящаяся), то условно пишут ; если при этом, начиная с некоторого номера N, все элементы положительны (отрицательны), то условно пишут . Условность этих обозначений в том, что ни , ни   числами не являются. Для бесконечно малой последовательности, очевидно, .

Для сходящихся последовательностей справедливы следующие утверждения:

1) Если x_n = a, n = 1, 2, … (стационарная последовательность), то .

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

3) Если , , то

4)  ;

5)  ;

6)  (при b  0).

7) Если и х_n  z_n  y_n, то .

Пример 1.2.

1. 

2. ; ;

3. 

4) 

Последовательность {x_n} называется возрастающей (убывающей), если х₁  х₂  …  х_n  x_n+1  …(x₁  x₂ …x_n  x_n+1 …); неубывающей (невозрастающей), если х₁  х₂  …  х_n  x_n+1  …(x₁  x₂ …x_n  x_n+1 …).

Формальная запись: ij i>j  x_i>x_j (ij i>j  x_i<x_j )

Все такие последовательности называются монотонными; возрастающие и убывающие называются при этом строго монотонными.

Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Примером ограниченной монотонно возрастающей последовательности является последовательность . Ее пределом служит число e, e; это иррациональное число, приближенно равное 2,71828. Его называют также основанием натуральных логарифмов и пишут log_ex = lnx.

С помощью понятия предела последовательности определяются другие понятия предела, например, предела функции.

Рассмотрим действительную функцию f  Х . Для функции f существует предел А в точке x_о, х_о  Х, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {x_n}, существует предел последовательности значений функции не зависящий от выбора последовательности {x_n} и равный А. Предел функции обозначают .

Критерий Коши существования предела функции. Если для любого   0 существует  =()  0 такое, что для всех хХ, таких что |х₀ – х|  , выполняется условие

| A - f(x)|  

(формальная запись:  () x |х₀ – х|    | A - f(x)|  ),

то т.е. число А является пределом функции f в точке х₀ в смысле первоначального определения через произвольные сходящиеся к х₀ последовательности {x_n}. 

Множество {x: |x₀ – x|  } называют  - окрестностью точки х₀

Определенный выше предел функции f называют двусторонним; существуют понятия односторонних пределов слева и справа.

Число А⁺ (А^-) называется односторонним пределом справа (слева) функции f в точке х_0, что обозначается ( ), если члены последовательности {x_n} принадлежат множеству {x| x  x₀} ({x| x  x₀}), т.е. если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ и такой, что x_n  x₀ (х_n  x₀) для любого n = 1, 2,  , выполняется условие

Если А⁺ = А^-, то существует и двусторонний предел А, причем А⁺ = А^- =А.

Критерий Коши существования односторонних пределов предлагаем сформулировать в качестве упражнения.

Пример 1.3.

Рассмотрим функцию f(х) = sign (x), определяемую как

Ясно, что в точке х₀=0 существуют левосторонний предел , правосторонний предел причем они не равны, т.е. в х₀ = 0 не существует двустороннего предела. 

Для пределов функций справедливы следующие соотношения:

1)  для любых действительных чисел с₁, с₂;

2) для функции-константы (f(x)  c)

3)

4) если то

5) если на Х, то

Функцию f(x) называют бесконечно малой в точке х₀, если Ясно, что функция f(x) имеет предел А в точке х₀ тогда и только тогда, когда функция g(x) = f(x) – A является бесконечно малой в точке х₀.

Функцию f(x) называют бесконечно большой в точке х₀, если для любого числа   0 и любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀, существует такое натуральное число N , что для всех n > N | f(x_n)|> .

Формальная запись:  N n n>N  | f(x_n)|> 

Если функция f(xn) бесконечно большая в точке х0, то условно пишут и говорят в этом случае о бесконечном пределе функции. Условность этого обозначения, как и соответствующего термина, связана с тем, что символ  не является числом (см. аналогичные обозначения для бесконечно больших последовательностей). Если для любой последовательности {xn}, сходящейся к х0, и любого   0 существует номер N, что для всех n > N f(xn)>  ( f(xn)  -), то пишут ( ) и говорят о бесконечном положительном (отрицательном) пределе функции (формальная запись:  N n n>N  f(xn)>  ( f(xn)  -)). Аналогичным образом вводятся обозначения для односторонних бесконечных пределов и с соответствующим знаком или без него.

Определение односторонних бесконечных пределов с использованием сходящихся последовательностей предлагается сформулировать читателю в качестве упражнения.

Пример 1.4.

1) Условные обозначения и используют для того, чтобы показать характер поведения гиперболы в окрестности нуля, где она ведет себя как бесконечно большая функция соответствующего знака - отрицательная при х0 и положительная при х  0.

2)

3) .