44.Предмет ви. Задача о брахистохроне.
Вариационное исчисление(ВИ)- раздел мат-ки, в котором исследуются экстремальные задачи в бесконечномерных пространствах, т.е. решаются задачи определения наибольших и наименьших значений функционалов, а также определения кривых, на которых достигается экстремум функционала.
Задача о брахистохроне (о кратчайшем времени).
В вертикальной пл-ти заданы две точки А и В. Из т.А к т.В под действием только силы тяжести движется шарик массой m. Требуется найти такую гладкую кривую, что шарик, двигаясь по этой кривой, пройдёт путь от т.А до т.В за кратчайшее время.
Выберем
сист. коорд. с нач. в т.А. Будем искать
кривую y=y(x).
По закону сохранения энергии
в двух различных точках. Возьмем точку
А и произвольную точку с координатами
.
Закон сохранения энергии для нее имеет
вид
.
Следовательно
(1).
С
другой стороны
,
где
-
достаточно малы. Тогда
Следовательно,
Т.о.,
, отсюда
.
Тогда
- все время движения шара. По условию:
y(0)=0,
y(a)=b,
математическая постановка задачи о брахистохроне. Это одна из простейших задач вариационного исчисления.
46. Метод вариации основной задачи ви. Вариации кривой и функционала.
Это основной теоретический метод исследования задач вариационного исчисления, который был предложен в 18 веке.
Вариация кривой.
Пусть
y(x),
-
допустимая
кривая.
Опр1.
Кривую
,
наз.
допустимой вариацией кривой y(x),
,
если кривая
явл. допустимой кривой.
Чаще
всего выбирают
,
где
-
маленькое положительное число,
-
некоторая
ф-ция.
-
ф-ция, заданная для
. Т.о.
задаёт направление перехода в
функциональном пространстве от кривой
y(x)
к кривой
,
-
шаг вдоль этого направления,
-
также как и
называют
вариацией кривой y(x).
Условия,
которым должна удовлетворять ф-ция
. По определению1 имеем
По определению допустимой кривой:
Т.о.,
-
допустимая вариация, если
Вариации функционалов.
Пусть
I(y)-
произвольный функционал и кривые y(x),
на
[a,b]
зафиксированы. Рассмотрим приращение
этого функционала при переходе:
Если
это приращение допускает разложение
следующего вида
(1)
то
наз.
1-й вариацией функционала I(y),
-
2-й
вариацией функционала I(y).
Из ф-лы (1) следует правило вычисления и
,
.
Вычислим 1-ю и 2-ю вариации для функционала из осн. задачи ВИ.
- 1-я вариация осн. задачи ВИ.
-
2-я вариация функционала осн. задачи ВИ.