4. Визначення стійкості сак

4.1. За критерієм Гурвиця

Характеристичне рівняння:

D(р) =

З коефіцієнтів характеристичного рівняння будують спочатку головний визначник Гурвіца. Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно спадаючими індексами, а стовпці вниз — коефіцієнтами з послідовно зростаючими індексами. На місце коефіцієнтів з індексами більше n (n — порядок характеристичного рівняння) і менше нуля проставляють нулі.

Критерій стійкості Гурвіца: для того щоби система автоматичного керування була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі визначники Гурвіца мали знаки, однакові зі знаком старшого коефіцієнта характеристичного рівняння а_n , тобто при а_n>0 були додатними.

Умова стійкості для рівняння третього порядку (п=3):

; ; ; ;

Отже, визначники матриці Гурвіца будуть дорівнювати:

Δ1=6,224 >0

Оскільки всі визначники більші за нуль, то система стійка.

4.2. За критерієм Рауса

Характеристичний поліном:

D(s)=

На базі коефіцієнтів характеристичного рівняння складемо матрицю Рауса :

Для того, щоб система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб елементи 1-го стовпця матриці М мали однаковий знак.

Для системи 3-го порядку за критерієм Рауса стійка система має задовольняти наступні умови:

;

Отже, за критерієм Рауса система є стійкою.

4.2. За критерієм Михайлова

Характеристичний поліном:

D(р) =

Відокремлюючи дійсну і уявну частину, поліном D(p) приводимо до виду:

D (jw)=

Геометричне місце точок кінця вектора D(j) при зміні частоти 0<< називається годографом Михайлова. Побудуємо його для досліджуваної системи (рис.3)

Рис.3. Годограф Михайлова

Побудований годограф Михайлова бере свій початок на дійсній осі й, рухаючись проти годинникової стрілки, ніде не перетворюючись у нуль, захоплює 3 квадранти. Оскільки порядок характеристичного полінома також 3, то робимо висновок про те, що досліджувана САК є стійкою.

5. Побудова амплітудно-фазо-частотної характеристики розімкненої сак та визначення стійкості замкненої сак за критерієм Найквіста

На основі розрахованих даних будуємо АФЧХ (рис.4) в програмному середовищі MatLab ( годограф Найквіста) :

Рис. 4. Амплітудно-фазова характеристика САК

Запас стійкості по амплітуді:

Запас стійкості за фазою визначають як величину кута для частоти зрізу:

Для того, щоб система була стійкою необхідно та достатньо, щоб годограф Найквіста не охоплював точку з координатами (-1 ; j0 ). Отже, система стійка.

6. Побудова логарифмічних частотних характеристик

6.1. Амплітудно-частотна характеристика (лачх) та фазо-частотну характеристика (лфчх) розімкненої сак, визначення запасів стійкості системи

Логарифмічний критерій стійкості використовується для замкнутих систем управління.

ЛДС стійка в розімкнутому стані буде стійка і в замкнутому стані, якщо в діапазоні частот, де L()>0 значення фази >-.

а) б) в)

Рис.5. а) Стійка система; б). Система на межі стійкості; в). Система нестійка

 – запас стійкості за фазою

Передаточна функція розімкнутої системи:

Контрольна точка знаходиться за координатами :

На рис.5 зобразимо амплітудно-частотну характеристику (ЛАЧХ) та фазо-частотну характеристику (ЛФЧХ) розімкненої САК та знайдемо запаси стійкості.

Рис.6 Амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) та фазо-частотну характеристика (ЛФЧХ) розімкненої САК

Запас стійкості по фазі:

67⁰

Запас стійкості по амплітуді:

Δ L= ∞