4. Предмет линейной алгебры. Матрицы: определение, основные понятия. Виды матриц.

Линейная алгебра - часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i - номер строки матрицы, а j - номер столбца матрицы. У матрицы есть 2 диагонали. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ матрицы, а элементы стоящие на другой диагонали образуют вспомогательную диагональ матрицы.

Виды матриц:

• Квадратная (m=n)

• Единичная – квадратная матрица, все элементы которой – нули, кроме единиц, стоящих по диагонали

• Транспортированная – получается из исходной матрицы заменой столбцов строками и наоборот

• Столбцовая – 1 столбец

• Строчная – 1 строка

• Симметрическая – элементы расположены симметрично относительно главной диагонали

Квадратная матрица, называется треугольной, если все элементы матрицы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О. В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике. Матрица, содержащая одну строку или один столбец, называется вектором (Или вектор-строка, или вектор-столбец соответственно).

5. Элементарные преобразования матриц

• вычеркивание строки, состоящей из одних нулей

• перемена строчек (можно менять местами)

• умножение всех элементов одной тсроки на обно и то же число

• умножение всех элементов одной тсроки на обно и то же число, не равное нулю и сложение с соответствую щими элементами другой строки

В результате элементарных преобразований получается эквивалентная матрица

6. Действия над матрицами.

• умножение матрицы на число не равное нулю. Каждый элемент умножается на данное число

• сложение/вычитание двух матриц. Можно +/- только матрицы одинаковой размерности, причем элементы стоящие на одинаковых местах складываются или вычитаются

• умножение двух матриц. Производится по правилу «строка на столбец», причем можно умножать 2 матрицы, если количество столбцов в первой равно количеству строк во второй

7. Определители 2 и 3 порядка. Способы вычисления.

Определитель второго порядка

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

a11 a12

a21 a22 = a11a22 – a12a21

Примеры определителей второго порядка:

-2 3

-4 5 = -25 - 3(-4) = -10+12=2

Определитель третьего порядка

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 =

a31 a32 a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32- a13a23a31-a12a21a33- a11a23a32

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали.

Примеры определителей третьего порядка:

1 2 3

4 5 6 =

7 8 9

=159+267+348- 357-249- 168=

=45+84+96-105-72-48=225-225=0