1. Определение передаточной функции w(p)

По заданным дифференциальным уравнениям элементов системы автоматического управления определим передаточные функции W(p). Для этого заменим в дифференциальных уравнениях и подставим значения коэффициентов в уравнения (1.1):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Запишем уравнения в операторной форме:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

так как y(p)=W(p)∙x(p), то передаточные функции W(p) равны:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

2. Построение структурной схемы сау и определение передаточных функций замкнутой сау по каналам управляющего и возмущающего воздействий.

f

По заданным уравнениям (1.2) связи элементов построим структурную схему САУ:

y

Y₆_

y₄_

y₃_

y₂_

x₄_

x₃_

x₁_

x₂_

y₁_

g

W₆

W₁

W₂

W₃

W₄

y

y₅_

x₅_

W₅

Рис.1 Структурная схема САУ, построенная на основе уравнений связи

Определим передаточную функцию разомкнутой системы W(p)раз.сис

(1.3)

(1.4)

Определим передаточную функцию замкнутой системы W(p)зам.сис

Определим передаточную функцию замкнутой системы по каналу возмущающего воздействия W(p)f

(1.5)

Подставим уравнения элементов структуры в уравнение (1.4):

Полученную функцию исследуем на устойчивость замкнутой САУ по критериям устойчивости Гурвица и Михайлова.

3. Исследование на устойчивость замкнутой САУ по критериям устойчивости Гурвица и Михайлова.

Определение устойчивости САУ по критерию Гурвица

(1.6)

Возьмем характеристическое уравнение:

Если характеристическое уравнение имеет третий порядок порядок, то для устойчивости нужно что бы коэффициенты a₀, a₁, a₂, a₃ были больше нуля и a₁^.а₂-а₀^.а₃>0

Как видно из нашего характеристического уравнения коэффициенты a₀>0 a₁>0 a₂>0 a₃>0, а также очевидно 98^.217,6-120^.54=14746,8>>0, что является условие устойчивости САУ по критерию Гурвица.

Определение устойчивости САУ по критерию Михайлова

Подставив в уравнение (1.6) p=jω и получим:

Выделим в данном уравнении вещественную и мнимую части:

Re()=54-98²

Im()=217,6-120³

Зависимость от частоты реальной и мнимой частей характеристического уравнения представлена в таблице 2 и на рис. 2.

Таблица 2

w	0	0,1	0,4	0,6	0,8	1	1,3	1,5	2,00
Re	54	53,02	38,32	18,72	-8,72	-44	-111,62	-166,5	-338
Im	0	21,64	79,36	104,64	112,64	97,6	19,24	-78,6	-524,8

Рис. 2 Годограф Михайлова

Из рис. 2 видно, что годограф обходит начало координат в следующем порядке: 1ый квадрант, 2ой квадрант, 3ий квадрант. Это является условием устойчивости САУ по критерию Михайлова.

4. Определение области устойчивости САУ методом D-разбиения

Определим область устойчивости САУ методом D-разбиения по коэффициенту T4. Возьмем передаточную функцию замкнутой системы W(p)зам.сис уравнение (1.4)

Подставим значения передаточных функций в передаточную функцию замкнутой системы W(p)зам.сис, получим:

Из полученного выражения возьмем характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления:

Запишем характеристическое уравнение в виде:

S(p)+T₄ N(p)=0 от сюда T₄=-S(p)/N(p)

Заменим p=jω и S(jω) и N(jω), получим:

Выделим в данном уравнении вещественную и мнимую части:

Зависимость от частоты реальной и мнимой частей характеристического уравнения представлена в таблице 3 и на рис. 3.

Таблица 3

ω	0,00	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	1	2	5	7	10
Re	-	496,22	98,69	41,72	23,05	14,62	10,11	3,61	0,90	0,14	0,07	0,04
Im	-	-801,3	-96,2	-25,6	-9,10	-3,51	-1,22	0,76	0,70	0,31	0,23	0,16

Осуществим проверку с помощью критерия Гурьвица, для этого в характеристическое уравнение подставим значения Т4 из области устой-чивости и не устойчивости.

Подставим значение из области устойчивости Т₄=3, получим:

Если характеристическое уравнение имеет третий порядок порядок, то для устойчивости нужно что бы коэффициенты a₀, a₁, a₂, a₃ были больше нуля и a₁^.а₂-а₀^.а₃>0

Как видно из нашего характеристического уравнения коэффициенты a₀>0 a₁>0 a₂>0 a₃>0, а также очевидно 99^.217,6-180^.54= 11822,4>>0, что является условие устойчивости САУ по критерию Гурвица.

Подставим значение из области не устойчивости K4=10, получим:

Если характеристическое уравнение имеет третий порядок порядок, то для устойчивости нужно что бы коэффициенты a₀, a₁, a₂, a₃ были больше нуля и a₁^.а₂-а₀^.а₃>0

Как видно из нашего характеристического уравнения коэффициенты a₀>0 a₁>0 a₂>0 a₃>0, но очевидно 106^.217,6-600^.54= -9334,4<<0, значит система не устойчива.

Проверка показала, область устойчивости была верно определена методом D-разбиения.