3. Основні тотожності

У даному розділі повторюються властивості і аксіоми, описані вище з додаванням ще декількох.

Зведена таблиця властивостей і аксіом, описаних вище:

;	.	1 комутативність
;	.	2 асоціативність
3.1 кон'юнкція щодо диз'юнкції	3.2 диз'юнкція щодо кон'юнкції	3 дистрибутивність
;	.	4 комплементность додатковість (властивості заперечень)
;	.	5 закони де Моргана
;	.	6 закону поглинання
;	.	7 Блейка-Порецкого
;	.	8 Ідемпотентность
.		9 інволютивних заперечення
;	.	10 властивостей констант
;	.
додаток 0 є 1   ;	додаток 1 є 0   .
;	.	11 Склеювання

4. Основні характеристики нечітких множин

Нехай M = [0,1] і A - нечітка множина з елементами з універсальної множини E і множиною приналежностей M.

• Величина  mA(x) називається висотою нечіткої множини A. Нечітка множина A є нормальною, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня границя її функції приналежності дорівнює 1 (  mA(x)=1). При mA(x)<1 нечітка множина називається субнормальною.

• Нечітка множина є порожньою, якщо "xОE m A(x)=0. Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати по формулі mA(x) := 

• Нечітка множина є унімодальною, якщо mA(x)=1 лише для одного x з E.

• Носієм нечіткої множини A є звичайна підмножина з властивістю mA(x)>0, тобто носій A = {x/mA(x)>0} " xОE.

• Елементи xОE, для яких mA(x)=0,5 називаються точками переходу множини A.

5. Канонічні форми булевих функцій

У різноманітних алгебрах, в яких є поняття рівносильності формул та рівносильних перетворень, виникає така класична проблема: для будь-яких заданих формул F₁ і F₂ встановити - рівносильні вони чи ні, або чи існує ланцюг рівносильних перетворень, що переводять формулу F₁ у формулу F₂?

Найпоширеніший метод розв’язування цієї проблеми полягає в тому, що в класах рівносильних формул визначаються деякі стандартні представники, які дістали назву канонічної (або нормальної) форми. Відтак, замість пошуків у “лабіринті” рівносильних перетворень “шляху” від F₁ до F₂ ставлять задачу зведення за допомогою рівносильних перетворень обох формул F₁ і F₂ до канонічної форми. Якщо одержані канонічні форми збігаються, то формули F₁ і F₂ рівносильні, у противному разі - нерівносильні.

При означенні канонічної форми у будь-якій алгебрі повинні виконуватись принаймні три такі умови або вимоги. По-перше, означена канонічна форма повинна існувати у кожному з класів еквівалентності. По-друге, вона повинна бути єдиною з точністю до несуттєвих відмінностей (наприклад, порядку розташування її елементів). Нарешті, повинна існувати конструктивна процедура (алгоритм), що дозволяє звести довільну формулу F з деякого класу еквівалентності рівносильних між собою формул до відповідної канонічної форми K, тобто шляхом рівносильних перетворень отримати з формули F формулу K.

Одну з канонічних форм - досконалу диз’юнктивну нормальну форму (ДДНФ) - було означено в розділі 5. Там же було відзначено, що кожній не рівній тотожно 0 булевій функції (а тим самим, і кожному класу відповідних рівносильних формул) відповідає єдина ДДНФ. Отже, перші дві умови канонічної форми для ДДНФ виконуються. Алгоритм, що міститься у доведенні наступної теореми, забезпечує і третю умову.

Теорема 6.4. Будь-яка булева формула F за допомогою певних рівносильних перетворень може бути зведена до досконалої диз’юнктивної нормальної форми.

Доведення. Доведення теореми проведемо конструктивно. Сформулюємо набір правил або алгоритм, застосовуючи який довільна булева формула перетворюється у відповідну їй ДДНФ. Головну роль у цьому алгоритмі відіграватимуть основні тотожності алгебри логіки (6.3) і правило заміни одних підформул на рівносильні їм інші підформули.

Формулюючи послідовність загальних правил, ілюструватимемо їхнє застосування на прикладі булевої формули

F = (( )( (AC))) .