Свойства равносильности уравнений и неравенств
№ |
Свойства равносильности уравнений |
Свойства равносильности неравенств |
|
1. |
Если к обеим частям |
||
уравнения |
неравенства |
||
прибавить одно и то же число, то получится |
|||
уравнение, |
неравенство, |
||
равносильное данному. |
|||
2. |
Если обе части |
||
уравнения |
неравенства |
||
умножить на число, |
|||
отличное от нуля, |
большее 0, |
меньшее 0, и при этом поменять знак неравенства на противоположный, |
|
то получится |
|||
уравнение, |
неравенство, |
||
равносильное данному. |
|||
3. |
Если в какой-то части |
||
уравнения |
неравенства |
||
выполнить тождественное преобразование, то получится |
|||
уравнение, |
неравенство, |
||
равносильное данному. |
|||
Задание
Приведите пример на каждое из свойств равносильности уравнений и неравенств.
№ |
Пример равносильных уравнений |
Пример равносильных неравенств |
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
Элемент математической культуры как компетенция
ЭМК О приеме доказательстве совпадения двух множеств
Чтобы доказать, что два множества совпадают, 1) выбирают произвольный элемент одного из множеств и доказывают, что он является элементом второго множества (иными словами, доказывают, что первое множество является подмножеством второго); 2) выбирают произвольный элемент второго множества и доказывают. Что он является элементом первого множества (иными словами доказывают, что второе множество является подмножеством первого); 3) делают вывод, что множества совпадают.
Рассмотрим идею доказательства свойств равносильности на конкретном примере.
№ этапа |
идея |
пример |
1. |
Докажем, что каждый корень уравнения I является корнем уравнения II:
|
|
2. |
Докажем, что каждый корень уравнения II является корнем уравнения I:
|
|
3. |
Сделать вывод о равносильности уравнений |
|
Не всегда удается решить уравнение, используя только три указанных свойства равносильности. Может сложиться ситуация, что каждый корень первого уравнения является решением второго, но не всякое решение второго уравнения является корнем первого. Говорят, что второе уравнения является следствием первого уравнения. Если такое случается, то в уравнении следует делать проверку.
Пример.
.
Если данное уравнение заменить на
,
то полученное уравнение будет следствием
первого. Это уравнение имеет корни: –2
и –5. Однако, корень –5 является
посторонним, так как при –5 дробь не
имеет смысла.
Чтобы избежать ситуации потери корней или приобретения посторонних корней, следует соблюдать основное правило решения: в процессе решения надо сохранять ограничения на область определения, на область значений входящих функций.
Тогда приведенное уравнение следовало решать так:
(дробь
равна 0 тогда и только тогда, когда
числитель ______________, а знаменатель
__________________).
Функция v = f (u) |
Ограничения, связанные с областью определения |
Ограничения, связанные с областью значений |
v = u2 |
нет ограничений |
v _____ |
v =
|
и ____ |
v _____ |
v = au |
________ |
________ |
v = logau |
__________________ |
___________________ |
