5.1. Метод узловых потенциалов (муп)

Пересчитаем источники напряжения в источники тока и сопротивления в проводимости:

J1=E1/ZL1=6j/2j=3 A

J2=E2/ZC2=(6 - 12j)/(-2j)=6 + 3j A

J3=E3/R3=-12j/8=-1,5j A

YL1=1/ZL1=1/2j=-j/2 См

YL2=1/ZL2=1/2j=-j/2 См

YC1=1/ZC1=1/-4j=j/4 См

YC2=1/ZC2=1/-2j=j/2 См

YR1=1/R1=1/4 См

YR2=1/R2=1/4 См

YR3=1/R3=1/8 См

Произведённый пересчёт отображён на рисунках 5.3, 5.4.

Рисунок 5.3 Схема цепи для решения по методу узловых потенциалов.

Рисунок 5.2. Схема цепи для решения по методу узловых потенциалов с нанесёнными значениями сопротивлений и источников

Составим систему уравнений:

I U10*Y11+U20*Y12+U30*Y13=J11

II U10*Y21+U20*Y22+U30*Y23=J22

III U10*Y31+U20*Y32+U30*Y33=J33

Где собственные проводимости узлов:

Y11=YC1+YL1+YR3=j/4 – j/2 + 1/8=1/8 – j/4 См

Y22=YR1+YL1+YC2=1/4 – j/2 + j/2=1/4 См

Y33=YR3+YC2+(YL2·YR2)/(YL2 + YR2)=1/8 + j/2 + (-j/21/4)/(1/4-j/2)=0,325 + 0,4j См

Взаимные проводимости контуров:

Y13=Y31=-YR3 =-1/8 См

Y12=Y21=-YL1=j/2 См

Y23=Y32=-YC2= -j/2 См

Задающие токи узлов:

J11=-J3 - J1=1,5j – 3 А

J22=J1 - J0 + J2=3 – 1 + 6 + 3j= 8 + 3j А

J33=J3 - J2=-1,5j – 3j - 6=-6 – 4,5j А

Составим систему уравнений в матричной форме:

Найдём ток I1:

Откуда искомый ток I1=-3,134 + 7,318j A.

6. Запись мгновенного значения искомого тока, расчёт активной и реактивной мощностей в заданной ветви схемы

6.1. Запись мгновенного значения искомого тока

Запишем получившееся действующее значение искомого тока I4:

I4=-3,134 + 7,318j

Перейдём к тригонометрической форме записи, вычислим модуль и аргумент искомого тока:

Запишем мгновенное значение искомого тока: I4=7.961(cos500·t +113,182^o) A

6.2. Расчёт активной и реактивной мощностей в заданной ветви схемы

Для расчёта мощностей в ветви с током I4 учтём, что в этой цепи стоит один реактивный элемент, значит в полученном значении мощности должна отсутствовать реальная часть.

Итак:

Pа=Re[P_s]=67,821 Вт

Pp=Jm[P_s]=-34,333 ВАр

7.Определение сопротивления ветви, при котором выделяемая в ней мощность будет максимальна

7.1. Эквивалентное сопротивление

Найдём величину эквивалентного сопротивления, при удалении ветви с током I1 (рисунок 7.1)

Рисунок 7.1. Схема для расчёта эквивалентного сопротивления, при удалении ветви с током I1.

Пересчитаем треугольник в звезду. Для этого воспользуемся формулами перехода:

Z1=(R3·ZC1)/(ZC1+ZL2+R3+R2)=(8·(-4j))/(-4j + 2j + 8 + 4)=0,432-2,595j

Z2=(ZC1·(ZL2+R2))/(ZC1+ZL2+R3+R2) =(-4j·(4+2j))/(-4j + 2j + 8+4) =6/(2-j)=0,865-1,189j

Z3=(R3·(ZL2+R2))/(ZC1+ZL2+R3+R2) =(8·(4+2j))/(-4j + 2j + 8+4)=-6j/(2-j)=2,378+1,73j

После данного преобразования схема примет вид, приведённый на рисунке 7.2.

Теперь произведём замену последовательно стоящих сопротивлений на эквивалентные :

Zx=Z2 + R1= 0,865-1,189j + 4= 4,865-1,189j

Zy=Z3 + ZС2 + R2 =2,378+1,73j - 2j = 2,378-0,27j

После данного преобразования схема примет вид, приведённый на рисунке 7.3.

Рисунок 7.2. Схема для расчёта эквивалентного сопротивления, при удалении ветви с током I1, после пересчёта треугольника в звезду.

Рисунок 7.3. Упрощённая схема для расчёта эквивалентного сопротивления, при удалении ветви с током I1.

Рассчитаем значение искомого сопротивления по формуле:

Zэг=Z1+( ZxZy)/(Zx+Zy)=0,432-2,595j + =2,036 – 2,844j

Zэг=2,036 – 2,844j