3.Построение точечных графиков, диаграмм, гистограмм, отражающих зависимость данных величин
Гистограмма, отражающая зависимость X, Y:
Точечный график, отражающий зависимость X от Y:
4.Вычисление коэффициентов корреляции и детерминации
С помощью коэффициента корреляции определяется степень зависимости между величинами. То есть после вычисления этого коэффициента, можно узнать, существует ли зависимость между прибылью и собственным капиталом.
Для вычисления коэффициента корреляции требуется вычислить:
средние арифметические значений X и Y (
и
);статистические дисперсии (
и
);статистический корреляционный момент (
);среднеквадратические отклонения (
и
).
=13807,03;
=5313,72;
=449371236,5;
=25674290,07;
=90641799,58;
=21198,38;
=5066,98.
Коэффициент корреляции:
=0,84387.
Коэффициент детерминации:
=0,71212.
5.Нахождение уравнений линейной регрессии y на X первой степени, полинома 2-ой степени и степенной функции. Построение их графиков
Уравнение линейной регрессии
,
эта функция должна наиболее близко
приближаться к имеющейся совокупности
точек.
Рассмотрим уравнение линейной регрессии Y на X первой степени.
Воспользуемся методом наименьших квадратов:
,
.
,
,
,
.
a=0,201708058;
b=2528,730303.
Искомое уравнение (y=ax+b): y=0,201708058x+2528,730303.
Её график выглядит следующим образом
Уравнение полинома 2-ой степени будет рассчитываться следующим образом:
,
.
,
,
,
,
,
Подставим значения
в систему:
Решим её:
Искомое уравнение:
Её график выглядит следующим образом:
Уравнение степенной функции будет рассчитываться следующим образом:
где
Рассчитаем С и b:
,
где
.
Подставим значения в формулу:
.
Отсюда получим C=
2,668958, где
.
Искомое уравнение:
Её график выглядит следующим образом:
6.Оценка статистической надежности результатов регрессионного моделирования
Критерий Фишера
Оценка значимости уравнения
регрессии в целом дается с помощью
F-критерия
Фишера. Непосредственному расчету
F-критерия
предшествует анализ дисперсии. Центральное
место в нем занимает разложение общей
суммы квадратов отклонений переменной
y
от среднего значения
на две части – “объясненную” и
“остаточную”:
=
+
При расчете объясненной,
или факторной, суммы квадратов
используется теоретические (расчетные)
значения результативного признака
,
найденные по линиям :
=
a
* x
+ b
(для линейной регрессии первого порядка),
=a
* x^2
+ b
* x
+ c
(для полинома второй степени),
=
a
* x^b
(для степенной функции). Поскольку при
заданном объеме наблюдений по x
и y
факторная сумма квадратов при линейной
регрессии зависит только от одной
константы коэффициента регрессии a,
то данная сумма квадратов имеет одну
степень свободы . К этому же выводу
придем, если рассмотрим содержательную
сторону расчетного значения признака
y,
т.е.
.
Величина
определяется
по уравнению линейной регрессии:
=
a
* x
+b
.
Параметр a
можно найти как b
=
.
Подставив выражение параметра a
в линейную модель, получим:
.
Средний квадрат отклонений или дисперсию на одну степень свободы D
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-отношения, т. е. критерий F:
F-статистика
используется для проверки нулевой
гипотезы
:
=
.
Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Если несправедлива, то факторная дисперсия превышает остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях значимости нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсии, которая может иметь место при случайном расхождении их для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от единицы), если оно больше отличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи:
отклоняется.
Если же величина F
окажется меньше табличной, то вероятность
нулевой гипотезы выше заданного уровня
и она может быть отклонена без риска
сделать неправильный вывод о наличии
связи. В этом случае уравнение регрессии
считается статистически незначимым:
не отклоняется.
Для линейной регрессии
= 25674290,1
=
274247720,900
=
7919045,012
= 34,63141332
При k1 = m = 1 и k2 = n-m-1 = 14
Для полинома второй степени
= 25674290,1
=
151113929,403
=
6375884,020
= 23,70085919
При k1 = m = 2 и k2 = n-m-1 = 13
Для степенной функции
= 25674290,07
=
71801721,972
= 18364952,820
= 3,90971448
7. Определение прогнозного значения результата (прогнозное значение X увеличивается на 10 % от его среднего уровня) и доверительного интервала прогноза для уровня значимости α=0,05
Так как по условию прогнозное
значение X увеличилось на 10% от его
среднего, то считаем это прогнозное
значение умножая среднее X на 1,1. Чтобы
рассчитать прогнозное значение
результата, воспользуемся линиями:
=
a * xпр + b (для линейной регрессии первого
порядка),
=a
* xпр^2 + b * xпр + c (для полинома второй
степени),
=
a * xпр^b
(для степенной функции).
xпр
=
* 1,1
1) для линейной регрессии: = 5592,218076
2)для полинома 2й степени: = 6785,926748
3)для степенной функции: = 5023,2485
Доверительный интервал рассчитываем по формуле:
- tγ
*
≤ Y*
≤
+ tγ
*
Величину
считаем по формуле:
=s*
,
где s=
,
а
s2= , т.к α=0,05 γ=0,95 tγ=2,15;
Для регрессии s = 2814,079781
Для полинома s = 2525,051291
Для степенной s = 4285,434963
Для регрессии = 2901,07307
Для полинома = 2603,109674
Для степенной = 4417,913113
Доверительный интервал:
Для регрессии -645,0890246 ≤ Y* ≤ 11829,52518
Для полинома 2й степени 1189,240949 ≤ Y* ≤ 12382,61255
Для степенной функции -4475,264692 ≤ Y* ≤ 14521,76169