2.3. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Теорема 2.8. (о единственности предела). Если

то А₁ = А₂ .

Теорема 2.9 (арифметика пределов). Пусть существуют пределы

тогда справедливы равенства

Доказательство. Докажем, например, справедливость равенства 4).

По теореме имеем f(x)=A+a(x), g(x) = B + b(x) , отсюда

(*)

Каждое слагаемое в последней строке является произведением б.м. и ограниченной функций (ограниченность следует из предположения ). Из свойства 2 вытекает. что каждое слагаемое – бесконечно малая, а из свойства 1 следует , что есть бесконечно малая при x → a т.к. является суммой двух б.м.

Из (*) вытекает представление

,

что по теореме 2.7 достаточно для выполнения равенства 4).

Теорема 2.10 ( замена переменной под знаком предела).

Теорема 2.11 (о пределе промежуточной функции). Пусть в окрестности точки а выполняется неравенство

h(x) < f(x) < g(x)

и существуют пределы

тогда существует предел .

Пример2.1. Покажем, что

Из равенств и неравенства

следует . Отсюда в силу неравенства

и теоремы 2.11 получаем

В заключении пункта приведем достаточные условия существования предела.

Теорема 2.12 (достаточные условия существования предела). Если функция f(x) определена на интервале (a,b), является монотонной и ограниченной на (a,b), то для любого существуют пределы

2.4. Замечательные пределы. Вычисление пределов.

Важную роль математическом анализе имеют два равенства

и ,

которые называются, соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Приведем доказательство первого из них.

Из рисунка 2.1 имеем при х>0

Поделим все части неравенства на sin x

или , Устремляя х к 0 справа и учитывая, что

из теоремы 7 получим . Аналогично можно получить равенство . Откуда по теореме 2.3 получаем

Введя символику: = бесконечно большая, 0 – бесконечно малая, и основываясь на свойствах пределов , можно записать таблицу правил для действий с символом ∞ , которую можно назвать арифметикой расширенной числовой оси.

В левой части этой таблицы записаны символы, обозначающие пределы функций при стремлении аргумента к соответствующей предельной точке, например, ln0 обозначает

Выражения не имеют определенного значения и называются неопределенностями.

Алгоритм вычисления пределов . Подставляем предельную точку а вместо х. Используя арифметику расширенной числовой оси, выполним все операции. Если в результате получим число или бесконечность это и есть искомый предел. Если получили неопределенность, то ее надо «раскрывать» » т.е., выяснить какое значение принимает данное выражение,с помощью каких-нибудь приемов . В следующих примерах рассмотрим такие приемы

Пример 2.1.

Для вычисления пределов часто удобно использовать следующую теорему

Теорема 2.13. Пусть - бесконечно малые при , и . Пусть существует , тогда существует и

Пример

2.4. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций.

Непрерывность функции в точке. Введем сначала понятия приращений аргумента х и функции у = f(х) .

Пусть функция у= f(x) задана на интервале (а;b) , х₀ - фи­ксированная точка этого интервала. Любое число x –называется приращением аргумента в в точке х₀, , если только x _o+ x (а;b),

Разность соответствующих значений функции

y = f( x _o+ x) – f(x_o)

называется приращением функции в точке х₀ (рис.1).

Рис. 21

На рис.2, 3 изображены графики функций у = f(x) и у = g(x) указаны приращения аргументов х и соответствующие им npиращения функций y . Как мы знаем, стрелка на кривой у = f(x) показывает, что обозначенная ею точка графику не принадлежит, значение функции в точке х₀ определяется ординатой правой концевой точки левой части кривой.

y^

По-другому ведет себя функция у =g(x) в окрестности точки xq ис.43). Если x > 0 и x —» 0, то y —> 0. Это обусловлено тем, что кривая разорвана над точкой xq.

Определение 1. Функция у = f(x), определенная в точке x₀ и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в этой точке, если ее приращение Δу стремится к нулю при любом способе стремления к нулю приращения Δx .

Отметим равносильность условий х→ х₀ и x → 0.

Можно показать ,что приведенное определение эквивалентно следующему определению.

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x_о D, если

.

Принимая во внимание теорему (), последнее определение можно расписать более детально

Определение 1°. Функция у= f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются три условия:

1. y=f(x) определена в точке и в некоторой ее окрестности;

2. существует

3)

Подчеркнем, что определения 1 и 1° - это не два разных определения. Определение 1° является более подробной формулировкой определения 1.

Функцию, не являющуюся непрерывной в точке x_о, называют разрывной в этой точке. Разрыв может иметь место тогда и только когда, когда нарушается хотя бы одно из условий определения 1°,т.е.

1. функция f(x) не определена в точке xо;

2. не существует .

3) левая и правая части равенства (3) существуют, но не равны

Следующие утверждения легко доказываются с использованием теорем 5 и 6.

Теорема 9. Если функции f(x) и g(х) непрерывны в точке х=х₀ , то непрерывны в этой точке и их сумма, разность, произведение частное (для частного теорема верна при условии, что g(х₀) 0).

Теорема 10. Пусть функция u = u(x) непрерывна в точке х = хо и функция у = f(u) непрерывна в точке u₀ =u(x₀), тогда сложная функция у = F(x) = (f(u(x)) непрерывна в точке х = х₀.

Доказательство теорем проводится с помощью соответствующей теорем о пределах. Ограничимся рассмотрением произведения непрерывных функций.

Пусть f(x), g(x) - непрерывны в точке x_о. Это означает, что

,

Тогда

что означает непрерывность произведения функций f(x) и g(x).

Теорема 11. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Доказательство. Докажем непрерывность функции в любой точке Имеем

Функция является бесконечно малой при , а - ограниченной , поэтому по теореме 2 - бесконечно малая при

. Следовательн,о непрерывна в точке x.

Опираясь на непрерывность основных элементарных функций, можно установить непрерывность всех элементарных функций в ка­ждой точке их области определения. Для этого достаточно приме­нить теорему об арифметических действиях с непрерывными фун­кциям и теорему о непрерывности сложной функции.

Теорема 12. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Классификация точек разрыва. Если в точке

Определение 3.