3.5. Функция распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:
F(х) = Р(Х < х).
Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Геометрически функция распределения истолковывается как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.
Если дискретная случайная величина Х может принимает значения х1, …, хn, то функция распределения определяется по формуле:
,
где неравенство xi < x под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений xi, величина которых меньше x.
Пример 3.5.1. Дан ряд распределения случайной величины
X |
1 |
4 |
5 |
7 |
р |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
Найти функцию распределения F(х) и построить её график.
Решение. Будем задавать значения х и находить для них значение функции F(х).
1. Если х 1, то F(х) = 0. Действительно, значений меньших числа 1, величина Х не принимает. Следовательно, при х 1 функция F(х) = Р(х < х) = 0.
2. Если 1 < х 4, то F(х)= Р(Х < х) = 0,4. Действительно, на этом интервале СВ Х может принять только одно значение 1 с вероятностью 0,4.
3. Если 4 < х 5, то F(х)= Р(Х < х) = 0,4 + 0,1 = 0,5. Действительно, на этом интервале СВ Х может принять значение 1 с вероятностью 0,4 или значение 4 с вероятностью 0,1. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,4 + 0,1 = 0,5.
4. Если 5 < х 7, то F(х)= Р(Х < х) = 0,4 + 0,1 + 0,3 = 0,8. Действительно, на этом интервале СВ Х может принять значение 1 с вероятностью 0,4 или значение 4 с вероятностью 0,1 или значение 5 с вероятностью 0,3. Следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,4 + 0,1+ 0,3 = 0,8.
5.
Если х > 7,
то
F(х)
=
Р(Х
< х)
= 0,4 + 0,1+ 0,3 +0,2=1. Действительно, событие
достоверно и вероятность его равна 1.
Итак, искомая интегральная функция имеет вид:
.
Изобразим функцию F(х) графически.
Рис. 3.5.1.
Таким образом, функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, в которых случайная величина принимает конкретное значение и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.
Свойства функции распределения.
Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: 0 F(х) 1.
Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.
Вероятность попадания случайной величины в интервал
(включая х1)
равна приращению ее функции распределения
на этом интервале, то есть
Р(х1 Х < х2)= F(х2) – F(х1).
Если возможные значения случайной величины Х распределены на всей числовой оси, при
функция распределения равна нулю, при
равна единице, то есть
,
.
.
Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу [a,b], то
Пример 3.5.2. Функция распределения случайной величины Х имеет вид:
.
Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [1; 3).
Решение. По формуле Р(х1 Х < х2)= F(х2) – F(х1) находим, что
F(х1) = F(1) = 
и
F(х2) = F(3) = 1.
Тогда Р(1 Х < 3)= F(3) – F(1) = 1 – 1/2 =1/2.