Примеры решения типовых задач по теории рядов

Задача 37. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Данный степенной ряд можно записать так:

(1)

Применяем признак Даламбера:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд (1) примет вид

(2)

Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение х=-2/3 принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в (1) х=2/3, получим

(3)

Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение х=2/3 не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, - область сходимости исследуемого ряда.

Задача 38. Вычислить интеграл с точностью до 0,0001.

Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sinx, будем иметь

Тогда

Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,0001, то ограничиваемся только первыми тремя членами. Итак,

Задача 39. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале – периоде (-,):

Решение. Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство

(1)

где a_n и b_n определяются по формулам

(2)

(3)

Положив в (2) n=0, получим коэффициент а₀:

Используя формулу (2) и заданную функцию, имеем

Интегрируя по частям, получаем

Определим коэффициенты b_n:

Интегрируя по частям, получаем

Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в (1), получаем

Задача 40. Функцию в интервале (0;) разложить в ряд косинусов.

Решение. Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только косинусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-;0) четным образом. В результате будет получена четная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;). Известно, что ряд Фурье для четной функции имеет вид

(1)

где

(2)

При n=0 получаем:

Интегрируем по частям:

Подставив найденные значения коэффициента Фурье в (1), получим

Примеры решения типовых задач по теории дифференциальных уравнений

Задача 41. Найдите общее решение уравнения 2хуdx+(y²-x²)dy=0.

Решение. Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.

Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид

Сократив на х², будем иметь:

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

Задача 42. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию у и ее производную у’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку у=uv, где u и v – некоторые неизвестные функции аргумента х. Если у=uv, то y’=(uv)’=u’v+uv’ и данное уравнение примет вид

или

(1)

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. выберем функцию u так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид

(3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для u, получим: . Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.

Задача 43. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0)=1; у’(0)=3.

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию у. Положим у’=р, где р – некоторая функция аргумента х. Если у’=р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных р и х. Решим это уравнение:

Определим численное значение С₁ при указанных начальных условиях. Имеем 3=С₁(0+1). Следовательно, С₁=3. Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С₂ при указанных начальных условиях. Имеем 1=0+0+С₂; С₂=1.

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 44. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(-1)=4; у’(-1)=1.

Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: р=0; у’=0; у=С – решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

Используя начальные условия, находим С₁:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С₂:

Тогда

- искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 45. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной t:

В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим однородное линейное уравнение второго порядка:

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

Характеристическое уравнение k²-k-6=0 имеет корни: k₁=-2, k₂=3. Следовательно, общее решение (2) имеет вид

Находим частное решение х=Аt+В. Дважды дифференцируя, получим (х)'=А, (х)’’=0. Подставив в (1), находим А=-3 и В=0. Следовательно, х=-3t и

(3)

Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда

(4)

Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему С₁+С₂=1 и 3С₁-2С₂=3.

Решение этой системы дает С₁=1 и С₂=0. Следовательно,

- частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Задача 46. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющиеся частным решением дифференциального уравнения у’=х+х²-у²+сosх, если у(0)=1.

Решение. Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т.е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения: