§3. Формула бернулли

1. При практическом использовании теории вероятностей особое значение имеют события, связанные с независимыми повторными испытаниями, для которых выполняются условия:

Эти условия получили название "схемы Бернулли"

1) число испытаний n конечно; 2) каждое испытание имеет только два исхода: событие А осуществилось; событие А не осуществилось; 3) все испытания независимые; 4) вероятность появления события А в каждом испытании постоянна

Пример 7.

1. При подбрасывании монеты выпадение "орла" и "решки" удовлетворяют этим условиям.

2. Многолетние наблюдения показывают, что в течении дня соль приобретают 10% покупателей бакалейного отдела. Какова вероятность, что из 100 покупателей, приобретающих товар в бакалейном отделе равно 10 будут покупать соль?

То есть во многих задачах требуется найти не вероятность каждого отдельного события, а вероятность осуществления события А ровно m раз в данной серии из n испытаний. Для этого пользуются формулой Бернулли.

Здесь:

р - вероятность появления события А в отдельном испытании;

q - вероятность противоположного события q=1- p;

(читается «эн факториал» - произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n, например 5!=12345=120).

Пример 8.

Вернемся к предыдущему примеру с покупателями соли.

Вероятность покупки соли отдельным покупателем р=0,1, значит вероятность противоположного события, т.е. того, что соль не будет куплена q=1-p=1-0,1=0,9.

Общее число покупателей n=100, число предполагаемых покупателей соли m=10, поэтому n-m=100-10=90.

Подставляем данные в формулу Бернулли:

Вероятность того, что из данных 100 покупателей соль приобретут ровно 10 человек равна 13%, хотя по статистике только каждый 10-ый покупатель приобретает в этом отделе соль.

2. Частные случаи формулы Бернулли:

1. Вероятность осуществления события n раз в n испытаниях

(m = n): .

2. Вероятность осуществления события А ноль раз в n испытаниях (m = 0): .

3. Вероятность осуществления события А не более m раз в n испытаниях: .

4. Вероятность осуществления события А не менее m раз из n испытаний: .

Пример 9.

Найти вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет:

1) две девочки; 2) не менее двух девочек;

3) не более 4х девочек.

Считать вероятность рождения мальчика p_м= 0,4 и девочки p_д= 0,6.

Решение.

Общее количество детей n=5, вероятность рождения девочки p=0,6, значит вероятность рождения мальчика, т.е. не девочки q=1-0,6=0,4;

1. m=2.

2. m2.

3. m4.

или, что тоже самое

3. При большом числе n повторных испытаний некоторого события А формулой Бернулли пользоваться сложно. В этом случае используют формулу Лапласа.

Если вероятность осуществления события А в n испытаниях отличны от 0 и 1, то вероятность, что это событие осуществиться равно m раз равна значению функции:

,

где - функция Лапласа, причем - функция четная и для определения ее значений есть таблица (табл. 1.);

аргумент функции .

Пример 10.

Вероятность заболевания туберкулезом легких в некоторой местности 0,003. Какова вероятность того, что при осмотре 1000 человек будет выявлено 3 больных?

n =1000 Р₁₀₀₀(3) = , где

m=3 ,

p=0,003

.

4. Формула Лапласа непригодна при малых значениях вероятности события А в одиночных испытаниях , (т.е. при р 0.1). В этом случае пользуются законом редких событий (законом Пуассона):

,

где

Пример 11.

Фармацевтический завод отправил на аптечный склад 10 000 ампул димедрола. Вероятность того, что в пути ампула будет повреждена 0.0002. Найти вероятность того, что на склад поступить 5 ампул поврежденных из этой серии.

6. Наивероятнейшим числом появления события называется такое число повторений события, вероятность которого наибольшая.

По определению наивероятнейшее число появлений события К₀ должно удовлетворять двум неравенствам:

Р_n(K₀) P_n(K₀+1)

P_n(K₀) P_n(K₀-1)

Решая эти неравенства, получаем:

K₀ np - q

K₀ np + p

или двойное нерaвенство: (np – q) K_{0 (}np + p)

Равенство имеет место, если (np - q) – целое число; тогда в этом случае К₀ имеет два значения: K₀=(np - q) и K₀= (np + p).

Если же (np - q) – дробное число, то между числами (np - q) и (np + p) заключено единственное целое число К_0.

Если (np)- целое число, то К₀=np.

Примеры 12.

1. Вероятность производства нестандартной детали р=0,022. Найти наивероятнейшее число нестандартных деталей в партии на 500 деталей.

N=500 n*p-q=500*0.022-0,978=11-0,978=10,022

P=0.022 n*p+p=500*0.022+0.022=11.022

Q=0.978 10.022 K₀ 11.022 K₀=11

2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель, если будет сделано 14 выстрелов.

N=14 n*p-q=14*0.2-0.8=2.8-0.8=2.0

P=0.2 n*p+p=14*0.2+0.2=2.8+0.2=3.0

Q=0.8 K₀=2; K₀=3

3. Найти наивероятнейшее число выпадения герба при 100 подбрасываниях монеты.

N=100 n*p=100*0.5=50 n*p-q=50-0.5=49.5

P=0.5 K₀=50 n*p+q=50+0.5=50.5

Q =0.5 49.5 K₀ 50.5

K₀=50