2. Перенос тепла в ребрах

Кондуктивный тепловой поток через твердое вещество часто отводится от твердого тела посредством конвекции. Поскольку конвективный тепловой поток пропорционален площади поверхности, интенсивность рассеяния тепла с поверхности можно повысить, просто увеличивая эту поверхность. Это достигается при помощи ребер.

На рис. 2.1 показано прямое ребро постоянного поперечного сечения F. Тепло распространяется вдоль твердого материала ребра посредством теплопроводности и отводится от его поверхности окружающей жидкостью посредством конвекции. Температура окружающей среды , средний коэффициент теплопередачи равен , причем обе эти величины считаются постоянными.

Рис. 2.1. Ребро постоянного поперечного сечения

Чтобы найти распределение температуры в ребре, а затем тепловой поток от его поверхности, необходимо сначала составить тепловой баланс для элементарного объема ребра. В установившихся условиях кондуктивный тепловой поток, подведенный к элементарному объему ребра в сечении x, равен сумме кондуктивного теплового потока, отводимого из объема в сечении , и конвективного теплового потока, отводимого с поверхности элементарного объема: . Выражая два кондуктивных члена с помощью закона Фурье, а конвективный член с помощью закона Ньютона, получаем

,

где П  периметр ребра. Разделив все члены на и перейдя к пределу при , получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно температуры:

. (2.1)

Уравнение (2.1) можно привести к безразмерному виду, вводя безразмерную температуру и безразмерную линейную координату , где  температура основания ребра (x=0). В новых переменных уравнение (2.1) записывается следующим образом:

. (2.2)

Безразмерный комплекс можно упростить, приведя его к форме, напоминающей число Био. Произведение периметра на длину равно боковой площади поверхности ребра, . В таком случае

, (2.3)

где F  площадь поперечного сечения ребра. Комплекс, выраженный формулой (2.3), имеет размерность длины, и, следовательно, его можно рассматривать как характерный линейный размер ребра .

Следовательно, число Био для ребра можно записать как

. (2.4)

Можно было ожидать появления в какой-либо форме числа Био в задаче о переносе тепла в ребре, поскольку в этой задаче совместно действуют теплопроводность и конвекция.

Безразмерное уравнение переноса тепла в ребре (2.2) можно теперь записать, используя число Био:

. (2.5)

Решение уравнения (2.5) выражается соотношением

. (2.6)

Значения двух постоянных интегрирования можно определить, как только будут заданы два граничных условия. Чаще всего известна температура основания ребра ; запишем это в виде граничного условия:

(2.7)

Это соотношение будет служить первым граничным условием. Возможны несколько вариантов второго граничного условия. Рассмотрим три наиболее часто встречающихся граничных условия.

Граничное условие 1 рода. Очень длинное ребро, такое, что температура на его торце равна температуре окружающей среды:

, (2.8)

или .

Граничное условие 2 рода. Ребро с теплоизолированным торцом при : , или . (2.9)

Граничное условие 3 рода. Ребро с конвективным отводом тепла от поверхности торца. В этом случае граничное условие имеет вид

, (2.10)

или .

Используя граничное условие (2.7) и одно из трех граничных условий (2.8)–(2.10), мы получим три различных распределения температуры в ребре постоянного поперечного сечения.

Если распределение температуры в ребре известно, можно найти суммарный тепловой поток, отводящийся от ребра. Проще всего найти этот тепловой поток, рассчитав кондуктивный тепловой поток через основание ребра:

. (2.11)

Теперь определим распределение температуры в ребре и тепловой поток, отводящийся от ребра, при задании каждого из трех граничных условий.

Граничное условие 1 рода. Для ребра бесконечной длины распределение температуры определяется выражением

.

Но длина ребра является неопределенной, поэтому удобнее найти распределение температуры по x :

. (2.12)

Тепловой поток через основание ребра выражается формулой

. (2.13)

Граничное условие 2 рода. Для ребра с теплоизолированным торцом распределение температуры имеет вид

, (2.14)

а тепловой поток от ребра определяется соотношением

. (2.15)

Граничное условие 3 рода. Для ребра с конвективной теплоотдачей на поверхности торца распределение температуры выражается формулой

, (2.16)

а тепловой поток определяется следующим образом:

. (2.17)

Описанный выше метод расчета распределения температуры в ребре и теплового потока от ребра применим только для ребра постоянного поперечного сечения. Если ребро суживается к концу, площадь поперечного сечения переменна и распределение температуры определяется более сложным соотношением.

Удобным параметром для расчета теплового потока от ребра является коэффициент эффективности ребра. Коэффициент эффективности ребра определяется как отношение теплового потока от ребра к тепловому потоку от идеального ребра: . (2.18)

Идеальное ребро рассеивает максимальное количество тепла при заданных форме ребра и температуре его основания. Идеальное ребро имеет бесконечно большой коэффициент теплопроводности, и, следовательно, температура его поверхности по всей длине постоянна и равна температуре основания. Реальное и идеальное ребра имеют одинаковую форму и одинаковую температуру основания. Тепловой поток от идеального ребра , где – площадь поверхности ребра, омываемой жидкостью с температурой .

Тепловой поток от реального ребра выражается соотношением

. (2.19)

Теперь можно найти конкретные выражения для коэффициента эффективности ребра. Например, коэффициент эффективности ребра с постоянным поперечным сечением и теплоизолированным торцом определяется следующим образом:

,

или . (2.20)

Рис. 2.2. Коэффициент эффективности ребра постоянного поперечного сечения

с теплоизолированным торцом

График зависимости (2.20) представлен на рис. 2.2. Видно, что коэффициент эффективности быстро снижается с ростом числа Био. Ребро с большим числом Био рассеивает тепло хуже, чем ребро с меньшим числом Био. Если коэффициент эффективности ребра мал, то может возникнуть ситуация, когда поверхность без ребра отдает тепло интенсивнее, чем поверхность с ребром. Этого следовало ожидать. Число Био выражает отношение кондуктивного термического сопротивления к конвективному термическому сопротивлению. При большом числе Био кондуктивное термическое сопротивление велико по сравнению с конвективным, и поэтому температура существенно падает вдоль ребра. Если Био велико, площадь, которая могла бы эффективно отдавать тепло посредством конвекции, занята ребром с низкой теплопроводностью, и в итоге наличие ребра вызывает снижение теплоотдачи от стенки.

Для ребер нужно выбирать высокотеплопроводные материалы: следовательно, металлические ребра предпочтительнее ребер из теплоизоляционных материалов. Если коэффициент конвективной теплоотдачи велик, число Био возрастает и ребра не столь эффективно усиливают теплоотдачу. Если в среде происходит фазовый переход в результате кипения или конденсации, коэффициент теплоотдачи становится очень большим. Следовательно, при фазовом переходе в окружающей среде действительно возможна ситуация, когда ребро будет снижать теплоотдачу от плоской стенки.