1.2 Установить свойство

Умножим обратную матрицу на исходную матрицу А.

Умножение матриц AB( или еще обозначается как AxB), есть процесс получение матрицы С, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица В имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

,

Полученная матрица является единичной матрицей Е.

Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные равны нулю.

Умножим исходную матрицу А на обратную матрицу .

A

Полученная матрица, так же является единичной матрицей Е.

Следовательно:

2.Исследовать систему неоднородных линейных уравнений

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:

Исследуем эту систему:

Система называется совместность, если имеет хотя бы одно решение.

Для совместности системы неоднородных линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы этой системы равнялся рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронкера-Капелли).

Проверим систему на совместность, определим ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы.

Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля (обозначается как rang A, r).

Минор – это определитель полученный вычёркиванием i -й строки и j -го столбца.

Для определения ранга матрицы воспользуемся методом окаймляющих миноров. Он заключается в поиске ненулевого минора матрицы наивысшего порядка, этот наивысший порядок минора и будет рангом матрицы.

Составим матрицу системы, в которой выделим первый минор:

Далее вычислим значение минора:

Минор не нулевой, значит ранг матрицы больше или равен одному.

Далее выделим минор более высокого порядка:

И вычислим его значение:

Этот минор тоже не нулевой, ранг матрицы равен двум (2), т.к. минор более высокого порядка взять невозможно (не позволяет размер матрицы).

Составим расширенную матрицу:

Как мы можем видеть в этой расширенной матрице мы можем взять тот же минор второго порядка, что и в предыдущем случае, и большего порядка минор взять невозможно. Следовательно, ранг расширенной матрицы T равен тоже двум (2).

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, но меньше числа неизвестных (в нашей системе уравнений, четыре неизвестных ) следовательно, система совместна и имеет бесконечно много решений (т.к. ранг меньше числа неизвестных, из Теоремы о структуре общего решения).

Решим систему уравнений методом Гаусса:

Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов. На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных. На втором этапе решения мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.

Запишем исходную систему:

Исключим переменную из всех уравнений, за исключением первого. Поменяем местами уравнения 1 и 2 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 2.

Прибавим получившееся уравнение к уравнению 2 (уравнение 1 не изменится в исходной системе).

Прибавим уравнение 1 к уравнению 3.

Исключим переменную из последнего уравнения. Умножим коэффициенты уравнения 3 на (-1) и прибавим получившиеся уравнение к уравнению 2.

Умножим коэффициенты уравнения 2 на (-2), прибавим получившееся уравнение к уравнению 3 (уравнение 2 не изменится в исходной системе).

Второй этап решения:

Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:

Из данного уравнения, найдем значение переменной .

Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:

Из данного уравнения, найдем значение переменной .

Подставим, ранее найденное, значение переменной .

Свободные переменные:

Выбрав для свободной переменной произвольное значение, можно получить частное решение данной системы, в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ:

Свободные переменные: