Сведения из статистики
Дисперсией
выборки
s2
функции x(t) называется средний за интервал
времени T квадрат отклонения мечен x(t)
вот среднего значения x:
.
Оценка
дисперсии для функции дискретной по
времени:
,
где xi
– текущее значение;
–среднее значение; N – число меченный
в выборке.
Математическое
ожидание
распределения случайной величины в
интервале определяется аналогично
среднему значению выборки
,
где xi
– текущее значение; N – число осчетов.
Размах выборки является мерой разброса выборки R = xmax – xmin , где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения в выборке.
Среднеквадратическое
отклонение
есть положительный квадратный корень
из дисперсии
.
Эмпирическую
функцию распределения
можно получить из гистограммы эмпирической
плотности вероятности
,
где pi
– вероятность того, что случайная
величина
приобретет значение из интервала
.
Эмпирическую
плотность распределения вероятностей
можно построить из гистограммы частот,
учитывая что
.
Корреляция и энергетический спектр
Если функция x(t) вещественная (физический сигнал), то средняя мощность G на промежутке времени T
.
(Авто)корреляционная функция вычисляется по формуле:
.
Теорема Виннера-Хинчина:
Спектр плотности мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье
и.
3 Реализация модели
Для реализации нашей модели используем программу MathCAD. Зададим расчетные уравнения, начальные условия и параметры и получим графики, отображающие траектории движения всех тел.
Начальные условия:
Внешняя сила, действующая на первое тело:
где
Система уравнений в MathCAD имеет вид:
Полученные графические результаты:
Рис.1.1 - График движения первого тела
Рис.1.2 - График движения второго тела
Рис.1.3 - График движения третьего тела
4 Исследование модели Статистический анализ
Рассчитаем основные статистические параметры разработанной системы, такие как:
- выборочное среднее значение (mean(x));
- выборочную дисперсию (var(x));
- среднее квадратичное отклонение (stdev(x));
- минимальное значение (min(x));
- максимальное значение (max(x));
- коэффициент эксцесса (kurt(x));
- коэффициент асимметрии (skew(x)).
Полученные результаты для
первого тела:
второго тела:
третьего тела:
Для построения гістограм найдем оптимальное количество интервалов:
Получении гистограммы для каждого тела:
Рис.2.1 - Гистограмма для первого тела
Рис.2.2 - Гистограмма для второго тела
Рис.2.3 - Гистограмма для третьего тела