Задача №5

Показать, что измерение координаты x частиц с помощью узкой щели шириной b вносит неопределенность в их импульсы такую, что

В момент прохождения частицами щели у них появляется неопределенность координаты , вследствие этого появляется неопределенность в значении импульса частиц Δp_х. После прохождения щели, вследствие дифракции, частица будет находиться в пределах

Рис.1 угла 2φ (φ – угол соответствующий первому дифракционному максимуму), тогда

_.

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму) получающемуся от щели шириной b, соответствует угол φ, для которого

sinφ = ,

следовательно, = p откуда = pλ .

Так как дебройлевская длина волны определяется выражением , то

,

что соответствует принципу неопределенности Гейзенберга

_.

Задача №6

Убедиться, что измерения координаты с помощью микроскопа вносит неопределенность в её импульс Δp_x такую, что . Иметь в виду, что разрешение микроскопа , где λ-длина волны использованного света.

У фотона, рассеянного на микрочастице, проекция импульса p_x будет равна

или с учетом того, что получим

.

Эта величина будет характеризовать и неопределенность импульса фотона Δp_x. Поскольку при рассеивании фотона на микрочастице ей также передается

Рис. 2 импульс p_x то и неопределенность её импульса будет Δp_x. Т.к. неопределенность координаты частицы ,то

,

в чем и следовало убедиться.

Задача №7

Электрон движется в атоме по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае понятие траектории?

Согласно правилу квантования бора

.

Т.к. электрон по условию задачи движется по первой (n = 1) боровской орбите, то

.

Т.к. ,то

.

Воспользовавшись принципом неопределенностей Гейзенберга и с учетом того, что , получим

.

Отсюда

,

т.е. в данном случае понятием траектории пользоваться недопустимо.

Задача №8

Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину  спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время  жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10^-8 с, а длину волны  излучения – равной 600 нм.

При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некоторый разброс (неопределенность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину Е. Согласно соотношению неопределенностей, ширина энергетического уровня Е связана со средним временем  жизни атомов в этом состоянии соотношением

. (12)

Поскольку энергия фотона Е связана с длиной волны  соотношением

,

то разбросу энергии Е, при Е<<Е, будет соответствовать разброс длин волн  (l <<l)

(13)

(знак минус опущен). Выражая теперь из (13)  и подставляя в него DЕ из (12) получим

= 2·10^-14 м

это и есть естественная ширина спектральной линии.