3. Двохетапні задачі стохастичного програмування

Недоліком розглянутих одноетапних задач стохастичного програмування є те, що в них лише фіксується факт можливих відхилень значень випадкових параметрів і усереднені розв’язки вибирають за умови, що відхилення значень від середнього рівня в будь-який бік небажане (зменшується величина дисперсії параметрів у обмеженнях або цільова функція — дисперсія мінімізується). У більшості реальних економічних задач має значення не лише величина відхилення, але також і його напрямок. Двохетапні задачі стохастичного програмування позбавлені зазначеного недоліку.

Розглянемо задачу стохастичного програмування в такій постановці:

, (1)

; (2)

. (3)

Якщо обмеження залежно від значень випадкових параметрів та вектора Х виконуються як  , то можливе існування надлишку (ресурсів, продукції тощо). Позначимо його через  :

.

За виконання обмежень залежно від значень випадкових параметрів та вектора Х у вигляді   виникає дефіцит. Позначимо його через  :

.

Отже, якщо , то  , а якщо , то  .

Інакше кажучи,

,

.

Очевидно, що система обмежень (10.11) задачі може бути подана в еквівалентній формі:

Допустимо також, що відомі величини   — питомі витрати на збереження надлишків   та   — питомі витрати, що пов’язані з дефіцитом    . Отже, можна визначити штрафну функцію для і-го обмеження за результатом його виконання. Позначимо її через S, тоді:

Тоді доцільно розв’язувати задачу (10.10)—(10.12) у такій постановці:

, (4)

; (5)

. (6)

Змінні   та   можна розглядати як такі, що забезпечують виконання обмежень (2) як рівностей.

Отже, розв’язування задачі відбувається в два етапи: спочатку відшукують фіксований план   згідно з апріорною інформацією про стан зовнішнього середовища, який і визначає реалізацію випадкових параметрів. Значення вектора Х не задовольняє обмеження задачі для кожного  . На другому етапі після спостереження за зовнішнім середовищем і отримання точного значення випадкових параметрів ω знаходять значення змінних   та  , що компенсують відхилення, які виникли за попереднім планом Х. Витрати на корекцію початкового плану визначаються як

.

Важливо спочатку отримати такий план, який би вимагав мінімальних витрат не лише на його реалізацію, але і на його коректування.

Коректування планів у процесі їх реалізації є цілком природним при складанні планів для реальних економічних процесів. Необхідність коректування плану зумовлена не недоліками планування, а складністю прийняття рішень за умов невизначеності.

Детерміноване моделювання не дає змоги об’єднати два етапи: прийняття плану та його коректування. Перехід від детермінованих моделей до стохастичних, в яких використовуються випадкові величини, що саме і викликають необхідність корекції, уможливлює отримання математичних моделей, що об’єднують вищеназвані два етапи планування. Отже, в результаті розв’язування двохетапних стохастичних задач отримують плани, що є стійкими за умов невизначеності і мінімізують загальні витрати на реалізацію і корекцію плану, тобто забезпечують загальний ефект від попереднього плану та його корекції.

У моделях двохетапного стохастичного програмування відображаються найхарактерніші особливості планування за умов невизначеності:

1. ймовірнісний характер початкової інформації,

2. вибір попереднього плану з урахуванням його майбутнього коректування,

3. коректування попередньо вибраного плану по мірі уточнення інформації.

Модель (4)—(6) — найпростіша двохетапна модель стохастичного програмування. У загальному випадку план-корекція вводиться в систему обмежень з допомогою матриці корекції загального вигляду, елементи якої можуть залежати від ω, тобто розглядається система нерівностей:

,

,  ;    ,

або у векторно-матричній формі:

; (7)

,  . (8)

Попередній план Х вибирається до спостережень над ω. Коли ω стає відомим, то визначають план-корекцію Y у такий спосіб, щоб виконувались співвідношення (10.16), (10.17). При цьому ефект від плану-корекції дорівнює:

. (9)

Оскільки з кожним планом-корекцією Y пов’язаний певний ефект, то при певному Х і спостереженому ω його краще за все вибирати з умови максимізації (9) за обмежень (7), (8). Позначимо такий план через   і назвемо його оптимальною корекцією плану Х за зовнішніх умов ω. Можна допустити, що   існує при кожному Х і ω, у протилежному разі в (7) можна ввести штучні змінні Y– і одночасно — в (8) з досить великим штрафом.

Сподіваний ефект від плану-корекції дорівнює:

.

Суть задачі полягає у відшуканні плану Х, який максимізував би математичне сподівання ефекту від плану з урахуванням його майбутньої корекції:

(10)

за умов:

; (11)

,  . (12)

Іноді нелінійну задачу (10)—(12) зручно формулювати дещо в іншому вигляді, а саме: знайти такий детермінований вектор Х і такий Y(ω), щоб

(13)

за обмежень:

; (14)

,  . (15)

У такій постановці двохетапна задача зводиться до одноетапної. Одночасно знаходиться оптимальний план Х і його оптимальна корекція  . Задача (13)—(15) на відміну від (10)—(12) лінійна, однак, якщо в задачі (10)—(12) розв’язком є n-вимірний вектор Х, для пошуку якого можна застосувати чисельні методи, то в задачі (13)—(15) невідомими є   і застосувати для розв’язування задачі чисельні методи можна лише за умови, якщо Ω — скінченна множина з невеликою кількістю елементів.