Задание 7.7

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Результаты измерения признаков X и Y выборки приведены в корреляционной таблице. Найти:

а) числовые характеристики выборки;

б) уравнение линейной регрессии у на х;

в) выборочный коэффициент корреляции;

г) на чертеже построить уравнение регрессии Y на X и поле корреляции;

д) при уровне значимости  = 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: r_ген = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

X Y	14-19	19-24	24-29	29-34	34-39	nx
16,5-18,5	2	2				4
18,5-20,5	3	4				7
20,5-22,5		13	6	3		22
22,5-24,5		9	21	13	2	45
24,5-26,5			19	29	9	57
26,5-28,5				8	17	25
ny	5	28	46	53	28	160

Решение

а) Составим и заполним следующую таблицу:

X \ Y	16,5	21,5	26,5	31,5	36,5	ni	nixi	Σnijyj	nixi2
17,5	2	2				4	70	76	1225
19,5	3	4				7	136,5	135,5	2661,75
21,5		13	6	3		22	473	533	10169,5
23,5		9	21	13	2	45	1057,5	1232,5	24851,25
25,5			19	29	9	57	1453,5	1745,5	37064,25
27,5				8	17	25	687,5	872,5	18906,25
nj	5	28	46	53	28	160	3878	4595	94878
njyj	82,5	602	1219	1669,5	1022	4595
Σnijxi	93,5	604	1107	1329,5	744	3878
njyj2	1361,25	12943	32303,5	52589,25	37303	136500
yjΣnijxi	1542,75	12986	29335,5	41879,25	27156	112899,5

Средние выборочные:

= 1 / n   x_i n_i = 6878 / 160 = 24,24;

= 1 / n   y_j n_j = 4595 / 160 = 28,72.

Для отыскания выборочных средних квадратических отклонений предварительно найдем необходимые значения:

= 1 / n   x_i² n_i = 94878 / 160 = 592,99;

= 1 / n   y_j² n_j = 136500 / 160 = 853,13;

( )² = 24,24² = 587,46;

( )² = 28,72² = 824,77.

Выборочные дисперсии:

σ_x² = – ( )² = 592,99 – 587,46 = 5,53;

σ_y² = – ( )² = 853,13 – 824,77 = 28,36.

Выборочные средние квадратические отклонения:

σ_x = = 2,35;

σ_y = = 5,33.

Выборочное среднее произведение:

= 1/n    x_i y_j n_ij = 112899,5 / 160 = 705,62.

Ковариацию:

C_xy = –  = 705,62 – 24,24 · 28,72 = 9,55.

в) Находим коэффициент корреляции:

r_xy = ( –  ) / (σ_x  σ_y) = C_xy / (σ_x  σ_y) =

= 9,55 / (2,35 · 5,33) = 0,7626.

б) Составим выборочное уравнение регрессии Y на X:

_x = r_xy  σ_y / σ_x  (x – ) + ;

_x = 0,7626  5,33 / 2,35 · (x – 24,24) + 28,72;

_x = 1,7268x – 13,1349.

г) Изобразим полученный график линии регрессии Y на X на одной плоскости с корреляционным полем:

д) Проверим нулевую гипотезу Н₀ о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности Н₀: r_ген = 0 при конкурирующей гипотезе Н₁: r_ген 0.

Т_наб = = = 0,7626 · = 19,6752.

По уровню значимости  = 0,01 и числу степеней свободы ν = n – 2 = 158 по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическую точку t_кр(, ν) для двусторонней критической области:

Т_кр(0,01; 158) = 2,6073.

Поскольку |Т_наб| > Т_кр, то нулевую гипотезу отвергаем.

Значит, коэффициент корреляции достоверно отличается от нуля, а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной корреляционной зависимостью.