3.1 Описание системы

Структурная схема исследуемой линейной системы представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1

W₀(s)= , W₁(s)= , где W₀(s) - неустойчивый объект управления (O2), W₁(s) - инерционный регулятор (P1), К₀- коэффициент передачи звена, T₀, Т₁- постоянная времени, Kр - усилитель сигнала ошибки.

Параметры системы - Kр=4.6, K₀=10,T₀=0.46 c,T₁=0.01c.

3.2 Характеристическое уравнение

Составим характеристическое уравнение системы, для этого найдем передаточную функцию разомкнутой системы:

Wр(s)= = .

Тогда характеристическое уравнение системы:

Q(s)+R(s)=0,

T₀T₁s³+ (T₀-T₁)s² –s + К_PK₀=0.

Рассчитаем значения коэффициентов характеристического уравнения:

a₀= T₀T₁=0.0046, a₁= T₀-T₁=0.45, a₂=-1, a₃= K_pK₀=46.

Характеристическое уравнение запишется:

0.0046s³+ 0.47s² -s + 46=0.

3.3 Проверка устойчивости системы по алгебраическому критерию

Воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица были устойчивы.

Cоставим матрицу Гурвица:

Г=

Тогда должны выполнятся условия (при положительности коэффициентов характеристического уравнения):

a₀>0, a₁>0, a₂>0, a₃>0,

a₁a₂ - a₀a₃>0.

Подставив числовые значения, получим:

0.0046>0, 0.45>0, -1>0- неверное неравенство, 46>0,

0.47(-1)>0.004646 - неверное неравенство.

Т.к. неравенства не выполняются, то, очевидно, что рассматриваемая система неустойчива.

3.4 Проверка устойчивости системы по критерию Михайлова

Составим функцию Михайлова:

характеристическое уравнение – Ф(s)= 0.0046s³+ 0.45s² – s¹ + 46, тогда функцию Михайлова получим заменой s на jω – M(jω)= 0.0046( jω)³+ 0.45( jω)² - (jω) + 46=

=46-0.45ω² +j(-ω-0.0046ω³). Заметим что порядок системы равен трем (n=3).

Годограф функции Михайлова представлен на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2

Как видим, при изменении частоты от 0 до  вектор кривой Михайлова начав своё движение на вещественной полуоси, последовательно проходит против часовой стрелки два квадранта (для устойчивой системы – три квадранта против часовой стрелки). Согласно критерию Михайлова система неустойчива.

3.5 Проверка устойчивости по критерию Найквиста

Определим устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение разомкнутой системы – R(s)= . Корни характеристического уравнения – s₁=0; -1+s₂T₀=0, s₂=1/T₀=2.174; 1+s₃T₁=0, s₃=-1/T₁=-100. Согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, разомкнутая система неустойчива, так как характеристическое уравнение имеет два правых корня. Данная система является астатической с астатизмом первого порядка =1 (один нулевой корень).

Передаточная функция разомкнутой системы W_р(s)= .

W(jω)=U(ω)+jV(ω), где

U(ω)= ,

V(ω)= .

Годограф АФЧХ представлен на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3

Так как разомкнутая система неустойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой ν = 1 = бесконечно большого радиуса, не охватывал точку (-1;j0 ), т.е. чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов на отрезке вещественной оси (-∞; -1) была равна =1, где -число правых корней . Из рисунка 3.3 видно, что годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой ν = 1 = бесконечно большого радиуса, охватывает точку (-1;j0 ) (разность между числом положительных и отрицательных переходов равна 0.5), т.е. система не устойчива.

Определим устойчивость системы по критерию Найквиста для логарифмических характеристик.

L()=20lg(|Wp(jω)|)= = ,

()= –   + arctg T­₀ –arctg T₁=-   + arctg 0.46 –arctg 0.01.

Графики ЛАХ и ЛФХ представлены на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4

Как видим из рисунка, разность между числом положительных и отрицательных переходов частотной характеристики уровня –π(2i+1) (i=0,1,2…) в области, где амплитудная характеристика больше нуля, равна нулю. Можно сделать вывод, что система неустойчива.

3.6 Граничное значение коэффициента усиления K_гр

Как было показано ранее, коэффициент a₂ характеристического уравнения меньше нуля. Согласно критерию Стодолы, определяющего необходимые условия устойчивости линейной системы, данная система будет неустойчива и неустойчива при любом К.

Вывод

Исходя из проведенных исследований системы по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста можно сделать вывод, что система конструктивно неустойчива.

4. Система с неустойчивым объектом управления и инерционно-форсирующим регулятором