По лекциям и.В.Малыхиной нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

f (x)=1 / ơ√2π* e ^{–(x-α)2/(2ơ2)}

где α-математическое ожидание, ơ-среднее квадратическое отклонение х.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β)

Р(α< х < β) = Ф ((β- а)/ ơ) – Ф ((α-а)/ ơ)

где Ф(х)=функция Лапласа

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ:

Р ( |Х- α| < δ) =2Ф(δ/ ơ)

В частности, при α=0 справедливо равенство

Р ( |Х| < δ) =2Ф(δ/ ơ)

Ассиметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

Аs =0; Ек=0 Мо= α Ме= α, где α=М(х)

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

А. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

Xi Xi Xi Xi

Ni

Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот

Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов (х₁,х₂) (х₂,х₃)…(Х_s,Х _s+1)

n ₁ n₂ n_s

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность χ распределена нормально.

Алгоритм проведения расчетов

Для того, чтобы при уровне значимости ɑ проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить, например, методом средней арифметичкской взвешенной , выборочную среднюю Хср и выборочное квадратическое отклонение ơ² , причем в качестве варианта Xi* принимают среднее арифметическое концов интервала:

Xi* = (х_i + х _i+1 ) /2

2. Пронормировать Х. т.е. перейти к случайной величине Z=(Х-х _ср.*)/ ơ², и вычислить концы интервалов: Z_i =( х_{i -} х _ср.*)/ ơ*, Z _i+1 =( х _{i +1-} х _ср.*)/ ơ*

причем наименьшее значение Z, т.е. Z_1, полагают равным -∞, а наибольшее, т.е. Z_s+1, полагают равным ∞.

3. Вычислить теоретические частоты:

n_i¹ =n*P_i

где n- объем выборки( сумма всех частот); P_i=Ф (Z_i+1)- Ф (Z_i)^__вероятность попадания Х в интервалы (х_i ;х _i+1) ; Ф (Z)-функция Лапласа

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:

А. Составляют расчетную таблицу, по которой находят наблюдаемое значение критерия Пирсона.

χ²_набл =∑(n_i-n_i¹)²/ n_i¹

i	ni	ni1	ni-ni1	(ni-ni1)2	(ni-ni1)2/ ni1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∑					χ 2набл=

Б) по таблице критических точек распределения χ ^2, по заданному уровню значимости ɑ и числу степеней свободы к = S-3(S-число интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области χ ²_кр(ɑ;к)

Если χ²_набл< χ ²_кр- нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если χ²_набл> χ ²_кр-гипотезу отвергают.