11. Застосування визначеного інтеграла. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі ох.

Площа плоскої фігури: Площа криволінійної трапеції рівна . Оскільки записана сума є інтегральною для ф-ії на , то згідно з озн. визначеного інтеграла (1). При цьому криволінійна трапеція обмежена неперервною ф-ією і прямими . В більш загальному випадку, коли трапеція обмежена зверху кривою , а знизу , прямими , , площа обчислюється за ф-лою: . Якщо криволінійна трапеція обмежена зверху кривою заданою параметрично , то при обчисленні площі використаємо ф-лу (1) і зробимо заміну . Тоді .

В полярній системі площа плоскої фігури, яка обмежена променями і неперервною кривою , шукається за ф-лою:

Обчислення довжини дуги кривої: Якщо ф-ія разом зі своєю похідною неперервна на , то крива спрямлювана (має довжину) і довжина її дуги рівна . Якщо крива задана параметрично: , і ф-ії , неперервні на , то така крива спрямлювана і її довжина: . Якщо крива в полярній системі координат задана рівнянням , і ф-ії неперервні на , то крива спрямлювана і

Обчислення об’ємів тіл: Нехай деяке тіло обмежене площинами і якоюсь поверхнею. Об’єм такого тіла . При цьому - це площа перерізу тіла площиною перпендикулярною до ОХ, який проходить через . Нехай навколо осі ОХ обертається криволінійна трапеція . При цьому утвориться тіло обертання, де - це площа круга з радіусом . Тоді

Фізичні застосування: При переміщенні матеріальної точки з положення до положення під дією змінної сили виконується робота: . Нехай задано неоднорідний матеріальний стержень з густиною . Розмістимо його на осі ОХ і нехай крайніми точками будуть . Тоді його маса: .

12. Розклад функції у степеневий ряд..

Послід. , членами якої є ф-ії задані на одній і тій же мнж. наз. функціональною послід-тю. Вираз виду , членами якого є ф-ії, задані на одній і тій же множині Х наз. функціональним рядом.

Кожному функ. ряду можна поставити у відпов-сть послід. його част. сум , де - -та частинна сума. Якщо ця послід. збігається до деякої ф-ії , то ф-ію наз. сумою ряду.

Якщо в деякій т. отриманий відповідний числовий ряд: є збіжним, то т. наз. точкою збіжності функ. ряду. Сукупність усіх т. збіжності ряду наз. обл. збіжності.

Функц. ряд наз. рівномірно збіжним на мнж. Х, якщо на цій мнж. рівномірно збігається послід. його частинних сум, тобто .

Т. (критерій Коші рівномірної збіжності функ. ряду) Для того, щоб функ. ряд рівномірно збігався на мнж. Х НіД, щоб ,

Одним із найважливіших прикладів функ. ряду є степеневий.

Степеневим рядом наз. ряд виду або , де - дійсні числа (коефіцієнти ряду), - фіксоване число. Скорочено такі ряди записують: або

Т. (Абеля) Якщо степ. ряд збіжний в т. , то він абсолютно збігається . Якщо ж ряд розбігається в т. , то він розбіжний і .

Для обл.. збіжності степ. ряду можливі випадки: 1) обл. збіжності є вся числ. пряма; 2) лише одна т. ; 3) обл.. збіжності є скінченний проміжок, який будується враховуючи: ряд збігається , де - деяке число, яке наз. радіусом степ. ряду. або .

Т.Якщо степ. ряд має радіус збіжності , то він буде рівномірно збігатися на будь-якому сегменті, що міститься в інтервалі збіжності (-R;R).

Властивості степ. ряду: сума степ. ряду є непер-ою ф-ією для будь-якого сегмента, що міститься в інтервалі збіжності; степ. ряд можна почленно інтегрувати та диференціювати на будь-якому сегменті, що міститься в інтервалі збіжності.

Степ. ряд виду: наз. рядом Тейлора для ф-ії в околі т. .

Т. Якщо ф-ія в околі розкладається в степ. ряд, то такий ряд єдиний і він є рядом Тейлора.

Т. (НіД умова розкладу ф-ії в ряд Тейлора) Для того, щоб ф-ія в околі розкладалася в ряд Тейлора НіД, щоб ф-ія в цьому околі була нескінченно диф-на і залишковий член прямував до 0 при .

Т. (достат. умови розкладу ф-ії в ряд Тейлора) Якщо ф-ія в околі нескінченно диф-на і і , то ф-ія у вказаному інтервалі розкладається в ряд Тейлора

Ряд Тейлора для т. =0 наз. рядом Маклорена. Розклади деяких елементарних ф-ій в ряд Маклорена: 1) , ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Пр. Розкласти за степенями х функцію : ,