2 Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов
Перейдем к расчету восстановленной функции спроса:
D*(pi) = a*(p - pср.) + d*.
Необходимо найти оценки параметров a* и b*:
a*
=
a*=
-0,4621,
b* = (D(pi)*Ni)cр , b*=26,74; d* = b* - a*pср., d*=26,74 – (-0,4621)*42,2 = 46,24062.
Таким образом, восстановленная функция спроса имеет вид:
D*(p) = (-0,4621)p + 46,2406
Таблица 2
Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.
i |
цена, pi |
Ni |
pi*Ni |
D(pi) |
D(pi)*Ni |
pi^2*Ni |
D(pi)*Ni*pi |
D*(pi) |
Ni*[D(pi)-D*(pi)] |
Ni*[D(pi)-D*(pi)]^2 |
1 |
5 |
6 |
30 |
50 |
300 |
150 |
1500 |
43,930 |
36,419 |
221,062 |
2 |
10 |
5 |
50 |
44 |
220 |
500 |
2200 |
41,6196 |
11,9020 |
28,3315 |
3 |
15 |
5 |
75 |
39 |
195 |
1125 |
2925 |
39,3091 |
-1,5455 |
0,4777 |
4 |
20 |
4 |
80 |
34 |
136 |
1600 |
2720 |
36,9986 |
-11,9944 |
35,9664 |
5 |
25 |
3 |
75 |
30 |
90 |
1875 |
2250 |
34,6881 |
-14,0643 |
65,9348 |
6 |
30 |
2 |
60 |
27 |
54 |
1800 |
1620 |
32,3776 |
-10,7552 |
57,8372 |
7 |
35 |
1 |
35 |
25 |
25 |
1225 |
875 |
30,0671 |
-5,0671 |
25,6755 |
8 |
40 |
3 |
120 |
24 |
72 |
4800 |
2880 |
27,7566 |
-11,2698 |
42,3361 |
9 |
45 |
1 |
45 |
21 |
21 |
2025 |
945 |
25,4461 |
-4,4461 |
19,7678 |
10 |
50 |
1 |
50 |
20 |
20 |
2500 |
1000 |
23,1356 |
-3,1356 |
9,8320 |
11 |
55 |
1 |
55 |
19 |
19 |
3025 |
1045 |
20,8251 |
-1,8251 |
3,3310 |
12 |
60 |
3 |
180 |
18 |
54 |
10800 |
3240 |
18,5146 |
-1,5438 |
0,7944 |
13 |
65 |
2 |
130 |
15 |
30 |
8450 |
1950 |
16,2041 |
-2,4082 |
2,8997 |
14 |
70 |
2 |
140 |
13 |
26 |
9800 |
1820 |
13,8936 |
-1,7872 |
1,5970 |
15 |
75 |
1 |
75 |
11 |
11 |
5625 |
825 |
11,5831 |
-0,5831 |
0,3400 |
16 |
80 |
3 |
240 |
10 |
30 |
19200 |
2400 |
9,2726 |
2,1822 |
1,5873 |
17 |
85 |
1 |
85 |
7 |
7 |
7225 |
595 |
6,9621 |
0,0379 |
0,0014 |
18 |
90 |
1 |
90 |
6 |
6 |
8100 |
540 |
4,6516 |
1,3484 |
1,8182 |
19 |
95 |
1 |
95 |
5 |
5 |
9025 |
475 |
2,3411 |
2,6589 |
7,0697 |
20 |
100 |
4 |
400 |
4 |
16 |
40000 |
1600 |
0,0306 |
15,8776 |
63,0245 |
summ |
|
|
2110 |
422 |
1337 |
138850 |
33405 |
439,6 |
0,00100000 |
589,6846 |
summ/n |
|
|
42,20 |
|
26,74 |
|
|
|
|
SS |
Рис.2. Функции спроса.
Из табл.2 видно, что остаточная сумма квадратов SS = 3650,2138 (после округления). Исходя из этого, найдем оценку среднего квадратического отклонения:
, σ*=
= 3,43.
Затем найдем доверительные границы для функции спроса:
D*(p)верхн.\нижн.
= (-0,4621)p
+ 46,2406
1,96
=
=
(-0,4621)p
+46,2406
±
*
=
=
(-0,4621)p
+ 46,2406±
*
Например, при p = 40 руб.
D*(40) верхн. = 27,75 + 0,953 = 28,7,
D*(40)нижн. = 27,75 – 0,953 = 26,8.
Таким образом, при цене 40 руб. товар купят 27-29 человек.
Теперь перейдем к расчету оптимальной цены при различных уровнях издержек p0. Для этого мы должны максимизировать прибыль:
(p - p0.) D*(p) = (p. – p0.)(a*p + d*).
Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:
,
2a*pопт. – а*р0 +d* = 0,
pопт.
=
.
Поскольку a* = (-0,4621), a d* = 46,24062,то
pопт.
=
.
Как видно из последней формулы, при возрастании издержек оптимальная розничная цена также возрастает, но вдвое медленнее.
Сравним (табл.3) оптимальные цены, найденные с помощью метода наименьших квадратов (pопт.2) и рассчитанные ранее с помощью первого метода (pопт.1).
Таблица 3