Глава 1. Экскурс в историю
"Природа говорит с нами на тысячу голосов и мы лишь недавно начали ее слушать."
Илья Пригожин
Первые примеры использования статистики в естественных науках связаны, что не удивительно, с медициной. Основателем медицинской статистики – а для науки 16 – 17 веков медицина воплощала в себе практически все естественнонаучные дисциплины - считается лондонский торговец Джон Граунт ( 1620 – 1674 ). Именно он представил в январе 1662 года президенту Лондонского Королевского общества доклад «Естественные и политические наблюдения…над бюллетенем смертности». Граунт был первым ученым, установившим, что мальчиков рождается больше, чем девочек в отношении 14: 13. Граунт пытался вычислить население Лондона, величина которого была предметом многочисленных слухов (по одному из которых она доходила до 7 миллионов человек). Заслуга Граунта была в том, что он обнаружил, что это число не соответствует числу похорон (менее 17 тысяч в год). Именно в связи с этим Граунт выдвинул гипотезу о том, что численность населения можно вычислять на основе бюллетеней смертности. Для этого надо было знать распределение населения по возрастам и смертность по возрастам. Излишне говорить, что гипотеза Граунта впоследствии подтвердилась.
Именно статистические исследования сделали знаменитым английского священника Томаса Мальтуса (1766 – 1834 ). Он использовал информацию об изменении численности населения во времени для построения математической модели роста населения. Считая рождаемость (среднее число родившихся в расчете на десять тысяч населения и за единицу времени) и смертность (среднее число умерших в расчете на десять тысяч населения и за единицу времени) постоянными величинами и предполагая, что рождаемость превышает смертность, легко показать, что относительный прирост населения в единицу времени остается величиной постоянной. Чтобы вычислить относительный прирост
некоторой величины за единицу времени, вы должны взять абсолютный прирост этой величины за небольшой промежуток времени, разделить его на значение величины в начале этого промежутка и затем разделить на величину промежутка времени. Математически такой модели соответствует экспоненциальный рост численности населения во времени. Производство же продуктов питания тоже растет во времени (что связано с ростом агротехнической культуры), но, естественно, более медленно, нежели численность населения.
Естественно, в этом пункте и появилось понятие борьбы за существование – иначе говоря, конкуренции людей (и не только людей) за ограниченные ресурсы. Эта идея Мальтуса чрезвычайно сильно повлияла на политическую и экономическую мысль. До него общепринятой была абсолютно противоположная точка зрения точка зрения, согласно которой рост населения - это необходимое условие роста промышленного производства. Таким образом, статистическая информация стала основой математической модели, модель же, в свою очередь, стала основой весьма важных социально-экономических и естественнонаучных выводов. Можно сказать, что модель Мальтуса стала первой удавшейся попыткой математического описания социальных процессов. До Мальтуса математически описать удавалось только движение небесных тел в рамках небесной механики.
Достижения Мальтуса были признаны научным сообществом, в 1805 г. его назначили профессором современной истории и политической экономии во вновь организованном колледже Восточно-Индийской компании в Хайлибери. Фактически Мальтус стал ведущим академическим экономистом Англии. Многие его современники не принимали его точку зрения на судьбы популяций, однако никто не подвергал сомнению его статус выдающегося мыслителя своего времени. С двумя современными (и весьма отличными друг от друга) оценками роли и места Мальтуса с точки зрения современных демографических моделей можно познакомится в статьях известных российских специалистов в области естествознания – доктора физико-математических наук С.П.Капицы1 и доктора биологических наук, академика РАН Е.Д.Свердлова2.
По мнению С.П.Капицы, в настоящее время рост населения Земли замедлился и численность населения приближается к некоторому пределу. Е.Д.Свердлов, напротив, считает идеи Мальтуса весьма актуальными в связи с проблемой нехватки ресурсов Земли для обеспечения потребностей всех живущих на ней людей.
Большое впечатление выкладки Мальтуса произвели на Чарльза Дарвина и сама концепция борьбы за существование стала одной из основ теории эволюции. Приведем высказывания Дарвина на этот счет. В октябре 1838, 15 месяцев спустя после того, как я начал мое систематическое исследование, случилось мне прочесть для развлечения Мальтуса о популяциях и, будучи подготовленным к признанию борьбы за существование, которая происходит повсеместно... я моментально понял, что при этом благоприятные варианты будут иметь тенденцию к сохранению, а неблагоприятные - к уничтожению. Результатом будет образование новых видов" ("Автобиография"). "Я увидел при чтении Мальтуса про популяции, что естественный отбор будет неизбежным результатом быстрого роста числа всех живых существ..." ("Изменчивость животных и растений при одомашнивании").
Таким образом, статистическая модель Томаса Мальтуса определила возникновение и развитие одной из самых известных естественнонаучных теорий 19 столетия - теории эволюции Чарльза Дарвина.
Одна из простейших и наиболее распространенных статистических процедур - нахождение среднего значения. Любые измерения, которые выполняет ученый – экспериментатор, предполагают нахождение среднего значения серии измерений. Математическая обработка результатов измерений стала возможной после того появления теории ошибок немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1855 ) В основе теории ошибок ( изложенной впервые в 1807 г. в мемуаре Гаусса "Теория движения небесных тел, обращающихся около Солнца по коническим орбитам" ) лежит нормальный закон распределения вероятностей случайных ошибок (знаменитое распределение Гаусса). Распределение Гаусса показано на рис.1. По оси абсцисс отложено численное значение погрешности X, равное разности между измеряемой величиной и ее средним значением, по оси ординат - так называемая “плотность вероятности”. Смысл плотности вероятности следующий. Вероятность того, что погрешность будет находится в интервале между X1 и X1 + dX. численно равна площади, ограниченной кривой, осью абсцисс и прямыми X = X1 и X = X1 + dX.
Рис. 1 Распределение Гаусса
Точность измерений может быть разной – серии более точных измерений соответствует "более острое" распределение Гаусса (II), серии менее точных измерений - менее острое(I). На языке теории ошибок это означает, что у распределений будут разные дисперсии. Распределению с отчетливо выраженным максимумом (II) соответствует меньшая дисперсия, распределению с более размытым максимумом (I) – большая дисперсия.
Распределение Гаусса наполняет новым содержанием понятие о среднем значении измеряемой величины. Именно среднему значению измеряемой величины соответствует наибольшая плотность вероятности. Иначе говоря, экспериментов, в которых измеренная величина будет не сильно отличаться от среднего значения (соответственно, погрешность будет мала) будет существенно больше, чем тех, в которых измеряемая величина будет существенно отклоняться от среднего значения
В 19 веке идея усреднения разнообразных причин - не сводящаяся к нахождению среднего значения – постепенно проникала в сознание и естественников и гуманитариев. Так, философ Спенсер в 1860 г. предложил рассматривать мозг как усредняющий интересы жизни – физические, интеллектуальные, моральные, социальные». Точно так же он оценивал и функции парламента "как усредняющего интересы различных классов общества". Похожим был и его взгляд на биологию: "форма каждого вида организмов – результат усредненной игры внешних сил, действовавших в течение его эволюции как вида". Бельгиец Адольф Кетле ( 1796 – 1874 ) активно способствовал популяризации идей статистики, и особенно концепции "среднего человека". По его словам, характеристики "среднего человека" остаются неизменными; индивидуальностей же следует рассматривать как отклонения от него. Именно в изучении "среднего человека" Кетле видел главную цель статистики.
Весьма много сил Кетле потратил на попытки применить статистические методы в изучении преступности и здесь у него нашелся последователь, которому удалось вписать страницу в историю… криминалистики. Этим последователем был француз Альфонс Бертильон. Работавший помощником письмоводителя в полицейской префектуре Парижа, Бертильон был хорошо знаком с гипотезой Кетле, согласно которой строение тела человека является его индивидуальной характеристикой и что двух человек с совершенно одинаковыми антропологическими характеристиками быть не может. Гипотезу Кетле настойчивый Бертильон проверял на практике, измерив у большого числа заключенных парижских тюрем те самые антропологические параметры: окружность головы, длину ушей, длину ступней, ширину грудной клетки, рост и т.п.. В докладной записке, представленной Бертильоном префекту полиции в 1879 г., он отмечал, что, если взять одиннадцать антропологических параметров и занести их в карточку преступника, то вероятность их совпадения с такими же параметрами у другого преступника будет равна 1: 4 191 304. Если же мы внесем в карточку большее число антропологических параметров, то вероятность совпадения станет приблизительно в 70 раз меньше. Идея Бертильона состояла в систематизации карточек с данными антропологических параметров преступников – с тем, чтобы при задержании каждого нового преступника измерять его личные параметры и сверять их с картотекой. Только такой подход, по мнению Бертильона, исключит обманы и ошибки. Свой метод Бертильон противопоставлял обманчивой, по его словам фотографии… к тому же фотографии не поддавались, по его словам, столь же ясной систематизации.
В 1882 г. Бертильону было разрешено в порядке эксперимента проводить измерения и формировать специальную картотеку. К 15 февраля 1883 г. в картотеке было уже 1800 регистрационных карточек и в том же месяце задержанный преступник был опознан с помощью картотеки Бертильона. К нему пришла слава, и антропометрия по Бертильону – бертильонаж – стала широко известна и во Франции и за ее пределами. В 1888 г. Бертильон был назначен шефом вновь созданной полицейской службы идентификации города Парижа. События развивались и в том же году Лондонское королевское общество поручило Фрэнсису Гальтону подготовить на эту тему доклад.
Лорд Фрэнсис Гальтон (1822 - 1911) был широко известен многочисленными и разнообразными статистическими исследования девиз его был "Где возможно, считайте". Даже на своих лекциях Гальтон пытался определить – по количеству покашливаний слушателей - меру их внимательности. Во время прогулок собирал материал для «карты красоты» в Англии, подсчитывая количество очень красивых, заурядных и некрасивых женщин из встретившихся ему во время прогулки. Известно также, что однажды Гальтон пытался выяснить эффективность молитв. Для этого он, воспользовавшись соответствующими статистическими данными, сравнил частоты кораблекрушений для тех судов, на борту которых находились миссионеры и для тех, на борту которых миссионеров не было… Кузен и активный последователь великого Дарвина, Гальтон был широко известен в Англии своей любовью к антропологическим измерениям. Познакомившись с бертильонажем, Гальтон вспомнил про опубликованное в 1880 г. в Nature - ведущем научном журнале Англии – письмо врача Генри Фолдса. В этом письме Фолдс рассказывал о своем открытии абсолютной неповторимости узора капиллярных линий – пальцевого узора.
Перечитав письмо Фолдса и публикации других авторов, Гальтон понял, что стоит на пороге открытия. Проведя огромное количество измерений и разработав методы их классификации, обращаясь за консультацией к химикам, Гальтон выпускает в 1892 г. книгу "Отпечатки пальцев". Проходит еще десятилетие, и дактилоскопия становится признанным во всем мире методом идентификации преступников. В основе этого метода - установленный чисто статистически факт абсолютной индивидуальности узора капиллярных линий. Эта история отчетливо продемонстрировала практические возможности статистического метода; позже, в двадцатом столетии дактилоскопия приобрела статус самостоятельного раздела судебно-медицинской науки1.
На уровень мировоззрения идея статистического, вероятностного знания была поднята знаменитым французским математиком Пьером Симоном Лапласом (1749 – 1827). В 1814 г. вышел в свет его ставший впоследствии знаменитым трактат «Опыт философии теории вероятностей». Лаплас считал, что существует Высший разум, обладающий абсолютным знанием. Человек же занимает промежуточное положение между Высшим разумом и незнанием и именно потому ему следует активно использовать теорию вероятностей. Лаплас глубоко убежден в том, что теория вероятностей обладает универсальной применимостью; некоторые его замечания мысли звучат – как станет ясно из последующего изложения – вполне современно. "…Мы так далеки от знания всех сил природы, что было бы мало научно отрицать явления только потому, что они необъяснимы при современном состоянии наших знаний. Мы должны только исследовать их с тем большим вниманием и тщательностью, чем нам кажется труднее допустить их; здесь-то становится необходимым исчисление вероятностей для того, чтобы определить, до каких пор следует умножать наблюдения или опыты, чтобы получить в пользу обнаружившихся в них сил вероятность, которая одержала бы верх над теми основаниями, на которых их все-таки можно бы не признавать".
Постепенно статистика получала признание и на институциональном уровне. В 1800 г. во Франции создано Генеральное бюро статистики. С 1834 г. в активном режиме работает Лондонское статистическое общество. Что касается России, то статистика народонаселения была включена в сферу интересов сначала Вольного экономического общества(1809),а впоследствии – Русского географического общества (1845). А первый международный статистический конгресс организовал в 1851 г. уже упоминавшийся выше бельгиец Кетле.
Вопросы к главе 1
Кому из ученых впервые удалось математически описать человеческое общество? Каков вклад статистики в соответствующую математическую модель?
Назовите имя ученого, проводившего аналогию между одним из институтов гражданского общества и одной из частей организма человека?
Кто и когда предложил философское обоснование необходимости для человека вероятностного знания ? Как выглядело это обоснование?
Каким образом статистический подход позволил связать антропологию с криминалистикой?
Два экспериментатора проводят серию из 10 измерения, причем один из экспериментаторов сильно утомлен. Результаты их измерений описываются распределением Гаусса. У кого из экспериментаторов дисперсия распределения будет больше? Почему?
Вопрос от британских коллег. Пусть по вертикальной числовой оси отложено численное значение некоторого антропологического параметра, а по горизонтальной оси – число людей, характеризуемых именно таким значением параметра. Примером такого параметра может быть вес, рост, длина ступни, коэффициент интеллектуальности (IQ). Соответствующая кривая будет по форме соответствовать распределению Гаусса. Приведите примеры других антропологических параметров, которые распределены "по Гауссу". Какие антропологические параметры не подчиняются распределению Гаусса? Как, используя распределение Гаусса, вы бы могли графически описать возникновение мутаций?