2. Алгоритм определения в заданном сечении прогиба f и угла поворота сечения θ

1. Построить грузовые эпюры Q и M от внешних нагрузок. Эпюра Q нужна только для определения сечения, где M = M_max (т.е. где Q = 0), если таковое имеется по условиям нагружения! Если есть сечение, где Q = 0, необходимо определить длину x₀ на которой Q пересекает ось x (для этого в уравнении для Q приравнять слева 0 = … и определить x₀). После этого подставить это значение x₀ в уравнение для M на этом же участке, тогда определится величина M = M_max.

2. Приложить единичную силу = 1 и единичный момент = 1 в том сечении, где необходимо определить прогиб f и угол поворота Θ.

3. Построить эпюры M₁ от единичной силы = 1 и M₂ от единичного момента = 1.

4. Определить центры тяжести С₁…С_i для элементарных фигур на грузовой эпюре M (смотри справочные таблицы).

5. Под центрами тяжести С₁…С_i определить соответствующие координаты y_1P…y_iP и y_1M…y_iM на единичных эпюрах M₁ и M₂ (смотри некоторые методы определения …y_i).

6. Определить площади элементарных эпюр ω₁…ω_i на общей грузовой эпюре M (смотри справочные таблицы).

7. Перемножить площади элементарных фигур ω₁…ω_i на соответствующие координаты y_1P…y_iP на эпюре M₁ от единичной силы = 1.

8. Произвести суммирование полученных выражений, полученный результат умножить на величину 1/EJ – для определения величины прогиба f:

f = f₁ + f₂ + … + f_i = (±ω₁∙y_1P ± ω₂∙y_2P ±…± ω_i∙y _iP )∙(1/EJ)

9. Провести аналогичные вычисления по пунктам 7…8 для координат y_1М…y_iМ на эпюре M₂ от единичного момента = 1 – для определения величины угла поворота сечения Θ:

Θ = Θ₁ + Θ₂ + … + Θ_i = (±ω₁∙y_1M ± ω₂∙y_2M ±…± ω_i∙y _iM )∙(1/EJ)

10. Знак «+» при слагаемых берется, если элементарная грузовая эпюра M_i и единичная эпюра M₁ (или M₂) имеют один знак (обе «+» или обе «–»). Иначе при слагаемых берется знак «–».

3. Определение ординат некоторых элементарных фигур

Для треугольника, если необходимо определить координату с, составляют пропорцию:

, откуда .

Для трапеции координата с и площадь эпюры ω:

При необходимости, расстояние до центра тяжести трапеции от большего основания, определяется по формуле

.

Центр тяжести трапеции расположен на линии, соединяющей середины параллельных сторон.

4. Основные варианты перемножения эпюр

Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис. 2 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (см. рис.). Так, результат перемножения двух трапеций (см. рис., а):

(2)

По формуле (2) можно перемножить и эпюры, имеющих вид "перекрученных" трапеций (см. рис., б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (см. рис., в) или разность (см. рис., г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:

(3)

но значение f при этом определяется по-разному (см. рис., в, г).

Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра является прямолинейной.