2. Стационарные солитоны в допированных волноводах.
Для изучения УГЛ (3) используем метод моментов, суть которого заключается в приведении полной задачи распространения с бесконечным числом степеней свободы к задаче распространения импульса с конечным набором его параметров [10]. На основе уравнения (3), выбрав в качестве его пробного солитонного решения подстановку вида (точное решение для нелинейного уравнения Шредингера представлено в [11]):
где
– нормированная амплитуда,
– обратная длительность,
– фаза,
– нелинейный набег фазы волнового
пакета, получим следующую систему
дифференциальных уравнений на варьируемые
переменные подстановки (4):
,
(4)
, (5а)
, (5б)
, (5в)
где
.
Стационарные решения системы уравнений
(5), соответствующие условию
,
,
были определены на основе численных
методов. Стабильность полученных
решений проверялась из условия
,
,
где
– собственные значения матрицы Якоби
системы (5) [12].
Используя метод моментов и варьируя
изменяемые параметры системы (
и
)
была найдена точка, которая соответствует
устойчивой особой точке типа фокус (
и
[13]), со следующими параметрами
с-1
и
см-3
(остальные параметры системы как на
рис.2).
Сравнивая полученные результаты по
методу моментов с результатами прямого
численного моделирования видно, что в
найденной точке импульс, фактически,
сохраняет форму огибающей согласно
(4) – см. рис.3а, а параметры образующегося
солитона хоть и отличаются от получаемых
по методу моментов, но находятся в
качественном
Рис. 3 (а)
Форма пробного импульса на входе
(сплошная линия) и при прохождении в
допированном волноводе (пунктирная
линия) расстояния
;
(б-в) зависимости параметров солитона
,
от приведенной длины среды допированного
волновода
.
Параметры системы соответствуют рис.2.
составляют:
,
,
,
,
.
согласии с ним – см. рис.3б-в, которые
демонстрируют резкий выход на стационарный
уровень значений. При этом параметры
УГЛ (3), используемые для прямого
численного моделирования Возвращаясь
к размерным величинам, выход на солитонный
режим для этой точки происходит на
характерной длине
импульса (4) c начальными
значениями параметров (рассчитанных
по методу моментов) интенсивности
,
длительности
и линейной частотной модуляцией
.
Сформировавшийся солитон будет иметь
интенсивность
при длительности импульса
.
Учет локального отклика в рассмотренной
модели имеет принципиальное значение:
при условии
решение на месте найденной точки
престает быть устойчивым. Это является
важным обстоятельством при оценках
параметров возможного эксперимента,
поскольку без учета локального отклика
параметры системы в которых есть
устойчивость будут определены не верно,
что аналогично проблеме практического
получения солитонов самоиндуцированной
прозрачности [14] в предсказанных
областях.
Заключение.
В работе решена задача учета эффектов локального отклика для определения областей стабильности солитонных решений импульсов пробного поля в рамановском (нелинейном) режиме работы –схемы взаимодействия, реализованной в оптически-плотной среде трехуровневых атомов. На основе этого предложена модель кварцевого волновода, допированного атомами , и определены физические условия для возможностей практического наблюдения оптических солитонов в изучаемых средах. Последовательный учет локального отклика в такой задаче позволяет не только расширить картину ВКР, но и определяет новые перспективы использования этого широко известного эффекта нелинейной оптики для управления устойчивостью представленных солитонных режимов.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 11-02-97513-р_центр_а.