Интегрирование дискретных уравнений движения упругого тела методом разложения решения по формам собственных колебаний.
Рассмотрим теперь методы решения построенных конечно-элементных уравнений.
В случае статики решение сводится к определению минимума дискретного аналога функционала потенциальной энергии. Так как
то
– положительно определенная матрица,
а значит не надо делать выбор ведущего
элемента в методе Гаусса. Метод Гаусса
решения систем уравнений предполагает
разложение матрицы в виде
,
где
– нижняя треугольная матрица, а
– верхняя треугольная. Для симметричной
матрицы существует вариант метода
Гаусса – метод Краута, где производится
разложение матрицы
в виде
.
Здесь
– диагональная матрица с положительными
компонентами
,
а
– нижняя треугольная матрица имеющая
«полупрофильную» структуру, то есть
структуру следующего характера:
Решается система
.
(6.28)
Сначала выполняется прямой ход метода
Гаусса – нахождение
из
.
Затем – обратный ход (нахождение вектора
узловых перемещений ансамбля):
.
(6.29)
В случае динамики решается система дифференциальных уравнений для вектора узловых перемещений ансамбля с начальными условиями на перемещения и скорости перемещений:
.
(6.30)
Рассмотрим задачу о собственных колебаниях тела (внешние силы отсутствуют):
.
(6.31)
Представим решение в виде
.
(6.32)
Решения полученной системы – пары
,
…,
,
где
.
(6.33)
–
-ортонормированные
собственные векторы.
.
Если
,
тогда
,
что означает, что конструкция не
закреплена как жесткое целое.
Уравнения (6.30) могут быть решены прямым
интегрированием. Решение этой системы
находится в пространстве
с ортонормированным базисом
,
,
…,
,
так что
.
Можно решать систему (6.30) путем модального интегрирования. В этом случае решение системы находится в пространстве с -ортонормированным базисом (см. (6.33)).
Введем матрицы
.
(6.34)
Тогда из (6.32) имеем
.
(6.35)
Рассмотрим преобразование вектора неизвестных к базису собственных векторов следующим преобразованием
.
(6.36)
Подставив это представление в (6.30), получим
.
(6.37)
Перепишем соответственно начальные условия.
.
(6.38)
Система (6.37), (6.38) – несвязная система уравнений. Она распадается на уравнений
,
(6.39)
.
(6.40)
Решение каждого уравнения можно получить
либо численно, либо с помощью интеграла
Дюгамеля (для закрепленного тела, то
есть при условии
):
,
(6.41)
где
и
определяются из начальных условий
(6.40).
Можно ограничиться нахождением решения
только для нескольких нижних частот
(пусть их число равно
)
и заменить сумму от 1 до
суммой
.
(6.42)
Можно исследовать поведение системы следующим образом. Рассмотрим решение задачи
.
(6.43)
Из (6.41) и начальных условий получаем
.
(6.44)
Из (6.44) следует, что
при
,
то есть возникает резонанс.
Рассмотрим теперь решение системы (6.30) путем шагового интегрирования.
Интервал по времени
разбиваем на шаги с моментами времени
.
Для времени
считаются известными
,
которые определяются из начальных
условий, и
,
определяемая из уравнений движения при
.
Требуется найти
при всех других моментах времени. Сделаем
это на примере некоторого момента
времени
.
Рассмотрим сначала явную схему – метод
центральных разностей. Ускорения и
скорости представляются в виде центральных
разностей со вторым порядком точности.
Это трехслойная схема, то есть в разностные
уравнения входят величины для трех
последовательных шагов –
,
и
:
.
(6.45)
Подставляя (6.45) в (6.30), получаем
.
(6.46)
Отдельно рассмотрим момент времени
.
Решая систему (6.45) относительно
,
,
получаем в законтурной точке
.
(6.47)
Введем эффективную матрицу масс и эффективный вектор нагрузки
.
(6.48)
В этих обозначениях (6.46) преобразуется к виду
.
(6.49)
Для модального интегрирования матрица
масс ансамбля заменяется на единичную
матрицу, а матрица касательной жесткости
– на
.
Алгоритм вычислений по явной схеме состоит из двух этапов. Первый из них – начальные вычисления:
1. Формирование матриц жесткости и масс
.
2. Введение векторов начальных значений
.
3. Задание шага
(
– размер шага, при котором нарушается
сходимость метода).
4. Определение
по
формуле (6.47)
5. Формирование эффективной матрицы
масс
по формуле (6.48)
6. Триангуляризация матрицы масс
(этот шаг не нужен в случае модального
интегрирования).
Второй этап – вычисление на шагах по времени. На каждом шаге выполняются три операции:
1. Вычисление
по формуле (6.48).
2. решение системы уравнений (прямой и обратный ход по Гауссу)
.
(6.50)
3. Нахождение
по формулам (6.45), затем переход к следующему
шагу
.
Это алгоритм для совместной матрицы масс (она имеет тот же профиль, что и матрица жесткости .
Рассмотрим некоторые модификации этого алгоритма.
Модификация 1. Матрица – диагональная – допустимое упрощение для конечно-элементной сетки. Система (6.49) распадается на независимых уравнений
.
(6.51)
В этом случае отпадает необходимость в триангуляризации матрицы масс, а уравнение (6.50) заменяется на (6.51).
Модификация 2. Вместо сборки глобальной матрицы жесткости можно в (6.48) при вычислении использовать следующее представление (см. (6.21)):
.
(6.52)
Модификация 3. Можно не вычислять матрицы жесткости элементов, поскольку
(6.53)
Здесь
– вектор внутренних сил элемента. Он
определяется численным интегрированием.
Для всего ансамбля
.
(6.54)
Явная схема достаточно проста, в чем состоит ее достоинство. Однако у нее есть недостаток – ограничение на шаг по времени: схема устойчива, только если
,
где
– наименьший период собственных
колебаний, то есть
,
где
– наибольшая собственная частота. В
том случае, если сетка равномерна,
критерий принимает более простой вид:
.
Это критерий Куранта. Здесь
– шаг сетки,
– число Куранта. Для одномерного случая
(стержня) оно равно
.
Таким образом, явная схема является условно устойчивой.