1.2. Моделювання і математика

Отже, модель - це не тільки і не стільки зовнішня подібність, як головне: поведінка моделі і реального об'єкта повинні підкорятися однаковим закономірностям.

Уявимо собі, що в будівельної механіці вирішується задача визначення напруг у балці призматичної форми під дією навантаження, що крутить. Яким би великою частиною балки ми не моделювали дану ситуацію, досліджувати її не можна, адже розмістити усередині балки потрібна кількість датчиків не пошкодивши її неможливо. З іншого боку, математична задача, що описує напружений стан балки в точності збігається з задачею про прогин мембрани. Тільки в першому випадку, функція, що входить у рівняння, є напруга, а в другому - прогин мембрани. Описаний вище приклад показує як проводиться моделювання одних явищ за допомогою других. Тут ми скористалися теорією подоби Кирпичева, що стверджує, що подібні ті явища, які описуються тими ж самими математичними рівняннями. Математична модель обох явищ тут виявилася однаковою.

Математична модель і математичне моделювання існують давно. Описи фізичних явищ рахуються достовірними, якщо вони виражені за допомогою числових величин. Частина цих величин береться безпосередньо з досвіду, а частина формулюється як математична задача: запис на мові математики законів природи, що управляють явищами, яки нас цікавлять. Як правило - це закони зберігання речовини, енергії й ін.

Достовірність математичних моделей необхідно перевіряти - чи відбиває адекватно модель досліджувану нами ситуацію.

Роздивимося для приклада математичну модель каменю, кинутого на землю з невеличкої висоти.

Причину падіння установив ще Ньютон:

Тому що ми розглядаємо падіння каменю десь у поверхні Землі, то радіус Землі буде відстанню між Землею і каменем.

Якщо на тіло діє сила F, то його рух описується 2-м законом Ньютона:

Названі два закони цілком визначають найпростішу математичну модель цього фізичного явища:

(1)

Рівняння (1) являється найпростішою математичною моделлю падіння тіла. Лабораторні досвіди цілком підтверджують теоретичні результати. Чи означає це, що розглянута математична модель вичерпно описує падіння будь-якого тіла?

Розглянутий нами рух являвся рівноприскореним, а от рух, наприклад, листа при падінні або парашутиста, більше нагадує рівномірний рух: незалежно від того з якої висоти летить, а приземляється з однією і тією же швидкістю. Цей приклад суперечить побудованої раніше моделі. Причина тут у тому, що ми не врахували опір повітря, що раніше був не істотним, а у випадку з парашутистом став істотним.

Таким чином можна підсумувати декілька етапів на шляху створення математичної моделі явища:

1. Конструюючи математичну модель, потрібно заздалегідь оцінити, яким явищам і фактам треба віддати перевагу, а якими - зневажити;

2. Провівши такий розподіл, необхідно записати в математичних формулах основні фізичні закони, що обусловлюють даний процес;

3. Записати в математичних формулах ті умови й обмеження, що істотні для даного процесу.

Звичайно в математичному моделюванні виділяють такі етапи:

1. побудова математичної моделі - математичне формулювання задачі;

2. вибір методу дослідження математичної задачі;

3. проведення математичного дослідження (рішення);

4. аналіз і реальна інтерпретація отриманих результатів.

Отже, математична модель це не тільки математичні рівняння, але й умови, що встановлюють межі придатності моделі. І всі отримані за допомогою цієї моделі результати будуть справедливі тільки в обговорених рамках.