Аналого-цифровые преобразования

           Итак, для реализации основных операций управления на ЦВМ необходимо аналоговый входной сигнал g(t) преобразовать в цифровую форму , т.е. представить его в виде последовательности кодов, поступающих с определенным тактовым интервалом (рис. 44). Такое преобразование включает в себя два этапа: амплитудное квантование и временное квантование.

 

 

Амплитудное квантование сигналов

 

           Квантование по уровню заключается в округлении значений процесса g(t) до величин , представленных конечным числом разрядов. Этот процесс можно пояснить графиком, представленными на рис. 45.

Рис. 45

           Процесс с непрерывными  значениями сравнивается по величине с расположенными через интервал  амплитудного квантования   уровнями. При этом вместо g(t)  выбирается номер   ближайшего уровня квантования.

           Предположим, что динамический диапазон значений входного сигнала g(t) ограничен и составляет интервал (g_min, g_max). Очевидно, общее число N  уровней квантования определяется по формуле  .

           При заданном числе уровней квантования N можно определить необходимое число разрядов для передачи . Например, для наиболее часто встречающейся двоичной системы число разрядов  n = log ₂ N .  Если, скажем, N = 1024, то необходимо применять десятиразрядный двоичный код.

           Как правильно выбрать число уровней  N  или  интервал    квантования?

           При замене аналогового сигнала g(t)  числом   с  конечным числом разрядов возникает случайная ошибка амплитудного квантования .

           Диапазон возможных значений этой ошибки ограничен: – /2< (t)</2. При большом числе уровней квантования считается, что ошибка имеет равномерное распределение в пределах этого диапазона (рис. 46).

           Нетрудно найти дисперсию случайной ошибки с равномерным распределением: () d =

           Поскольку =g (t)+  (t), можно считать, что амплитудное квантование приводит к появлению дополнительной помехи  (t) с дисперсией . Таким образом, эквивалентная схема процесса амплитудного квантования может быть представлена в виде рис. 47.

           Число уровней квантования обычно выбирают исходя из анализа действия этой дополнительной помехи  (t)  на систему управления. Обычно применяют стандартные схемы  преобразования аналоговых сигналов в 8–, 10–, 12– или 16 – разрядный двоичный код. При этом соответственно число уровней квантования   2⁸ = 256,     2¹⁰ = 1024,   2¹² = 4096  или 2¹⁶ = 64000. 

Рис. 46                                             Рис. 47

 

Временное квантование сигналов

 

           Как мы хорошо знаем, вся цифровая техника работает в дискретном времени, т.е. с определенной тактовой частотой. Процесс преобразования непрерывного по времени сигнала g(t) в последовательность g(t_i) называется временным квантованием (рис. 48).

Рис. 48

           Период Т_кв,  через который берутся отсчеты входного процесса, обычно называется  периодом или интервалом временного квантования. Большой интервал временного квантования может привести к значительной потере информации. Mалый   интервал  потребует увеличения быстродействия цифровой системы. Для выбора интервала временного квантования часто используют теорему Котельникова. Ее суть заключается в следующем. Пусть g(t) –  процесс  с ограниченным некоторой частотой   f_m    спектром.  Тогда при выборе интервала временного квантования        функция g(t)  может быть абсолютно точно восстановлена по отсчетам  g(KT_кв):

.

Приведенное  разложение  непрерывной  во  времени  функции  g(t)  по функциям вида   называется обычно рядом Котельникова.

           Однако при использовании теоремы Котельникова возникают две проблемы . Одна из них – ограниченность спектра. Дело в том, что процессы g(t), заданные на конечном интервале времени, всегда имеют спектр бесконечной ширины. Таким образом, строго указать f_m для реальных процессов не удается. Вторая проблема – слишком высокая частота временного квантования, которая получается при использовании теоремы Котельникова. Поэтому при проектировании систем управления обычно производят расчеты дополнительных погрешностей системы, вызванных временной дискретизацией. Интервал квантования Т_кв при этом выбирается исходя из заданной величины погрешности за счет временного квантования.

 

* * *

 

           Итак, в современных цифровых сиcтемах управления обычно выбирается достаточно малый интервал амплитудного квантования. При этом дополнительные погрешности системы,  вызванные амплитудной дискретизацией, оказываются малыми. Во многих случаях ими пренебрегают.  Вместе с  тем выбор интервала временного квантования в соответствии с теоремой Котельникова часто приводит к неоправданному повышению тактовой частоты вычислительной машины. Поэтому для анализа систем управления, работающих в дискретном времени, применяют специальные методы анализа, которые мы рассмотрим на следующих занятиях.