Непараметрические методы сравнения выборок
Критерии различия, при помощи которых могут быть сравнены статистические параметры совокупностей, разделяются на параметрические и непараметрические. Большинство методов оценки параметров, изложенных в вариационной статистике, основаны на предположении о нормальном распределении единиц в генеральной совокупности. Когда распределение сильно отклоняется от нормального типа, а выборки малы по объему, параметрические методы могут быть неточными. В этом случае рациональнее применять непараметрические методы. Непараметрические критерии не требуют для своего применения вычисления, среднего, его ошибки, «сигмы», коэффициента вариации, что упрощает процесс сравнения выборок. К таким критериям относятся: лямбда, медиана, критерии: Вилкоксона и Ван дер Вардена, серийный, знаков, хи-квадрат. Они применяются для оценки свойств объектов, основанных не только на количественных, но и на качественных признаках.
Рассмотрим на примере метод критерия лямбда, который не требует специальных таблиц для оценки достоверности различия, (техника расчета дается по Г.Н.Зайцеву, 1984).
Сравним длину шишек елей двух видов: А и Б.
Было измерено:
10 шишек ели вида А (Nx=10): 9,0; 9,0; 9,0; 10,5; 9,7; 10,4; 9,3; 7,9; 8,4; 8,5;
9 шишек ели вида Б (Ny=9): 8,5; 7,5; 8,0; 8,0; 8,2; 7,9; 7,7.
Действия по вычислению критерия различия лямбда производятся в следующем порядке по столбцам (табл. 6.3).
Таблица 6.3
Пример вычисления критерия лямбда
x, y |
f x |
f y |
åf x |
åf y |
|
|
σ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7,4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0,000 |
0,111 |
0,111 |
7,5 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0,000 |
0,222 |
0,222 |
7,7 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0,000 |
0,333 |
0,333 |
7,9 |
1 |
0 |
1 |
3 |
0,100 |
0,333 |
0,233 |
7,9 |
0 |
1 |
1 |
4 |
0,100 |
0,444 |
0,344 |
8,0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
0,100 |
0,556 |
0,456 |
8,0 |
0 |
1 |
1 |
6 |
0,100 |
0,667 |
0,567 |
8,2 |
0 |
1 |
1 |
7 |
0,100 |
0,778 |
0,678 |
8,2 |
0 |
1 |
1 |
8 |
0,100 |
0,889 |
0,789 |
8,4 |
1 |
0 |
2 |
8 |
0,200 |
0,889 |
0,689 |
8,5 |
1 |
0 |
3 |
8 |
0,300 |
0,889 |
0,589 |
8,5 |
0 |
1 |
3 |
9 |
0,300 |
1,000 |
0,700 |
Окончание табл. 6.3
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9,0 |
1 |
0 |
4 |
9 |
0,400 |
1,000 |
0,600 |
9,0 |
1 |
0 |
5 |
9 |
0,500 |
1,000 |
0,500 |
9,0 |
1 |
0 |
6 |
9 |
0,600 |
1,000 |
0,400 |
9,3 |
1 |
0 |
7 |
9 |
0,700 |
1,000 |
0,300 |
9,7 |
1 |
0 |
8 |
9 |
0,800 |
1,000 |
0,200 |
10,4 |
1 |
0 |
9 |
9 |
0,900 |
1,000 |
0,100 |
10,5 |
1 |
0 |
10 |
9 |
1,000 |
1,000 |
0,000 |
Ранжируем варианты рядов x и y (соответственно вид А и вид Б) в один ряд в возрастающем порядке их величин.
Отмечаем единицей варианты, относящиеся к ряду x, и нулем - варианты ряда y (столбцы 2 и 3 ).
Составляем накопленные частоты ряда x, т.е. складываем варианты нарастающим итогом. Сумма накопленных частот в конце столбца 4 должна равняться объему выборки и итогу столбца 2.
Составляем накопленные частоты ряда y. Сумма накопленных частот в конце столбца 5 должна равняться объему выборки N и итогу столбца 3.
Числа столбца 4 поочередно делим на объем ряда x, т.е на 10 и записываем в столбце 6.
Числа столбца 4 поочередно делим на объем ряда y, т.е на 9 и записываем в столбце 7.
Вычисляем без учета знака попарные разности чисел столбцов 6 и 7, выбираем максимальную разность. В данном случае она равна 0,789 (подчеркнуто в табл. 6.3).
По формуле
получаем
или
Вычисленная величина больше
(при 5% уровне значимости) или
(при 1% уровне значимости), что говорит
о достоверном различии длины шишек
елей.
При определении различия выборок, где рассматриваются качественные параметры, можно использовать критерий хи-квадрат, применение которого описано у Н.Н.Свалова (1976) и Г.Н.Зайцева (1984).
М.Л.Дворецкий (1971) дает алгоритм расчета показателя связи между двумя качественными признаками, связь между ранговыми номерами качества одного и ранговыми номерами качества другого какого-либо признака, а также связь между качественными и количественными признаками.