5.5 Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Это – уравнения вида

(12)

Линейным оно называется потому, что и неизвестная функция , и её производная входят в это уравнение линейно (в первой степени) - аналогично тому, как входят и в линейную функцию . А добавка «однородное» связана с тем, что правая часть уравнения (12) представляет собой нуль. Если же там будет не нуль, то такое уравнение будет называться линейным неоднородным ( см. далее ).

Уравнение (12) является заодно и уравнением с разделяющимся переменными вида при и . Из этого следует схема его решения:

1) . Таким образом, одно частное решение уравнения (12) (тривиальное решение) мы уже имеем: это функция .

2) Найдем общее решение уравнения (12):

| разделяем переменные и | | интегрируем обе части |

(13)

Итак, общее решение уравнения (12) имеет вид , где - одно из частных решений этого уравнения (оно выделяется из общего решения, если положить в нем С=1). Заметим, что и тривиальное решение уравнения (12) содержится в его общем решении (получается из него при С=0). Таким образом, в общем решении

(14)

линейного однородного дифференциального уравнения (12) содержатся все его частные решения. Структура (14) общего решения уравнения (12) показывает, что достаточно найти какое – либо частное решение этого уравнения. После этого по формуле (14) можно записать и его общее решение.

5.6 Алгоритм решения уравнений Бернулли

5.7 Алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах

Уравнение

М(x,y)dx + N(x,y)dy=0 (34)

Называется уравнением в полных дифференциалах, если М(x,y) и N(x,y) непрерывные дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение:

, (35)

причем и непрерывны в некоторой области.

Предположим сначала, что левая часть уравнения (34) есть полный дифференциал некоторой функции

Алгоритм интегрирования уравнения в полных дифференциалах u(x,y), т.е.

,

тогда .

Дифференцируя первое соотношение по у, а второе – по х, получим:

, .

Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь:

,

т.е. равенство (35) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (34) была полным дифференциалом некоторой функции u(x,y).

Теперь покажем, что это условие является и достаточным, т.е. что при выполнении равенства (35) левая часть уравнения (34) есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y).

Из соотношения находим , где x₀ – абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по х мы считаем у постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от у. Подберем функцию так, чтобы выполнялось соотношение . Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по у и результат приравняем к N(x,y). Поскольку зависит от у, для того чтобы найти производную от этого интеграла по у, нужно продифференцировать по у подынтегральную функцию:

,

но так как , то сделаем замену и получим:

,

т.е.

или

Таким образом, функция будет иметь вид . Здесь P(x₀,y) – точка, в окрестности которой существует решение дифференциального уравнения (34). Приравнивая это выражеиие произвольному постоянному С, получим общий интеграл уравнения (34).

.