Образец выполнения лабораторной работы №2

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные:

Найти корень уравнения e^-x-x=0 на отрезке [0, 1] с точностью =0,0001 при помощи методов половинного деления, хорд, касательных и простой итерации, используя программирование ячеек рабочего листа. Имеем: f(x)= e^-x-x, a=0, b=1, =0,0001.

2. Доказательство того, что внутри отрезка [0, 1] существует единственный корень уравнения e^-x-x=0.

Доказательство этого факта проведите и оформите самостоятельно. (При доказательстве можно использовать любой из пунктов 2, 3 или 4 лабораторной работы №1.)

3. Описание метода решения нелинейного уравнения с анализом сходимости итерационного процесса, его блок-схема и зарисовка фрагмента рабочего листа с указанием формул, которые необходимо ввести для каждого из соответствующих численных методов.

а) метод половинного деления

Описание метода см. в п. 2.1 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Блок схема метода половинного деления представлена в прил.1 (см. с.54).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода половинного деления:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 E1 F1 A2 B2 C2 D2 E2 F2 G2 A3 B3 C3	n а b xn f(a) f(xn) 0 0 1 =(B2+C2)/2 =EXP(-B2)-B2 =EXP(-D2)-D2 =ЕСЛИ(C2-B2<0,0001;"стоп";"далее") =A2+1 =ЕСЛИ(E2*F2<0;B2;D2) =ЕСЛИ(E2*F2<0;D2;C2)

Далее, выделив диапазон D2:G2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:G3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце G не появится сообщение «стоп», что означает что корень найден и его значение находится в столбце D.

В данном случае это сообщение появится в ячейке G16, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке D16. Ниже приведен фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом деления пополам уравнения e^-x-x=0.

б) метод хорд

Описание метода см. в п. 2.2 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Поскольку f(0)=1 и , а значит , то согласно правилу (см.с.15), по которому определяется тот конец отрезка, который будет неподвижен, и выбор формулы, имеем:

Блок схема метода хорд представлена в прил.2 (см. с.55).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода хорд:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 E1 A2 B2 C2 D2 E2 A3 B3 F3	n xn f(xn) a f(a) 0 1 =EXP(-B2)-B2 0 =EXP(-D2)-D2 =A2+1 =B2-(B2-$D$2)*C2/(C2-$E$2) =ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку С2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:F3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце F не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке F7, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5672 и находится в ячейке В7. Ниже приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом хорд уравнения e^-x-x=0.

в) метод касательных

Описание метода см. в п. 2.3. (Для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно.)

Для обоснования сходимости метода касательных проверим выполнение условия (7) на концах отрезка [0,1]. Поскольку, f ’’(x)>0, x[0,1], а f(0)=1>0, f(1)= -0,63212<0, то f(0)f ’’(x)>0, x[0,1] и в качестве начального приближения x₀ следует взять x₀=0. Формула для вычисления первого шага итерационного процесса выглядит следующим образом:

Блок схема метода касательных представлена в прил.3.

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода касательных:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 E3	n xn f(xn) f’(xn) 0 0 =EXP(-B2)-B2 =-EXP(-B2)-1 =A2+1 =B2-C2/D2 =ЕСЛИ(ABS(B3-B2)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив диапазон C2:D2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:E3, расположить указатель мыши на маркере заполнения и пробуксировать его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце E не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке E6, а значение корня с точностью 0,0001 равно 0,5671 и находится в ячейке В6. Ниже приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом касательных уравнения e^-x-x=0.

г) метод простой итерации

Описание метода см. в п. 2.4 (для конкретного варианта дать описание метода самостоятельно).

Данное уравнение (e^-x-x=0) приведем к виду (8):

x = e^-x или x=(x), где (x)= e^-x.

Так как ^’(x)= - e^-x, |^’(x)|=| e^-x |<1, x(0,1] то условие (10) выполнено; процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального приближения середину отрезка, т.е. , вычисления последующих приближений проведем по формуле

Блок схема метода простой итерации представлена в прил.4 (см. с.56).

Фрагмент рабочего листа с указанием формул или значений, которые необходимо ввести для метода простой итерации:

Ячейка	Формула либо значение
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 D3	n xn ( xn) 0 0,5 =EXP(-B2) =A2+1 =C2 =ЕСЛИ(ABS(B2-B3)<0,0001;"стоп";"далее")

Далее, выделив ячейку C2, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его на одну строку ниже (см. рис. ниже).

И окончательно, выделив диапазон A3:D3, расположите указатель мыши на маркере заполнения и пробуксируйте его вниз (см. рис. ниже) до тех пор, пока в столбце D не появится сообщение «стоп», что означает, что корень найден.

В данном случае сообщение появится в ячейке D16, а значение корня с

точностью 0,0001 равно 0,5671 и находится в ячейке B16. На рисунке справа приведены фрагмент рабочего листа и результат нахождения корня с точностью 0,0001 методом простой итерации уравнения e^-x-x=0.

Решение уравнения e-x-x=0	Название численного метода
	метод половинного деления	метод хорд	метод касательных	метод простой итерации
Вычисленное значение корня	0,5672	0,5672	0,5671	0,5671
Число итераций	14	5	4	14

4. Результаты работы для каждого из указанных численных методов выписать в следующем виде (вывод итоговой оценки для корня должно быть выведено лишь с верными цифрами (число верных цифр после десятичной точки имеет порядок Lg(1/)):

5. Полученные результаты проанализировать самостоятельно.