Контрольные вопросы.

1. Каковы правила сложения двоичных чисел ?

2. Каковы правила вычитания двоичных чисел ?

3. Каковы правила умножения двоичных чисел ?

4. Каковы правила вычитания двоичных чисел ?

Лабораторная работа №3. Основы машинной арифметики

Цель работы. Изучить основы машинной арифметики, представления чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах и арифметических операций над ними.

Любые данные (числа, текст, команды программ и др.) в памяти компьютера представлены двоичными кодами, которые представляют собой совокупность битов. В частности, двоичный код, содержащий 8 бит (говорят: «8 разрядов»), называется байтом. Для хранения данных используют следующие форматы двоичного кода: 8-разрядный (байт), 16-разрядный (полуслово), 32-разрядный (слово) и 64-разрядный (двойное слово).

Для выполнения арифметических операций используют специальные коды представления чисел, которые позволяют свести операцию вычитания чисел к арифметическому сложению этих кодов. Различают прямой, обратный и дополнительный коды. Прямой код используется для представления отрицательных чисел в памяти компьютера, а также при выполнении операций умножения и деления. Обратный и дополнительный коды применяются для выполнения операции вычитания, которую заменяют операцией сложения чисел с разными знаками: а — b = а + (-b).

В коде числа каждому разряду соответствует определенный элемент разрядной сетки. Для записи знака числа в разрядной сетке имеется строго определенный фиксированный разряд, обычно это крайний разряд разрядной сетки.

Замечание. Условимся при записи кода знаковый разряд числа отделять запятой от других разрядов. Если формат числа не указан, будем считать, что число 8-разрядное (байт).

Задание 1. Запишите следующие числа в прямом, обратном и дополнительном кодах.

а) 1101011; б)-101011; в)-101101; г)-1100111.

Методические указания.

Прямой код целого числа. Под прямым кодом двоичного числа понимают запись самого числа. Значение знакового разряда для по­ложительных чисел определяют равным нулю (0), для отрицательных чисел — единице (1). Например, если для записи кода используется байт, то:

Число	Прямой код
+1101	0,0001101
-1101	1,0001101

Крайний левый разряд в прямом коде нами отведен под знак числа, остальные разряды - под само число. Число располагаем в разрядной сетке так, чтобы цифра младшего разряда числа занимала крайнюю правую ячейку.

0,

0

0

0

1

1

0

1

Знаковый разряд ->

Обратный код целого числа. Обратный код целого положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа обратный код строится заменой каждого незнакового байта его представления в прямом коде на противоположный (заменим 1 на 0, 0 на 1), знаковый разряд не изменяется.

Пример.

Число	Прямой код	Обратный код	Замечание
+11011	0,00011011	0,00011011	Число положительное, обратный и прямой коды совпадают
-11011	1,00011011	1,11100100	Число отрицательное, каждый байт, кроме знакового, изменен на противоположный

Дополнительный код целого числа. Дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Пример.

Число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
+1110	0,0001110	0,0001110	0.0001110
-1110	1,0001110	1,1110001	1,1110010

Задание 2. Переведите числа X и Y в прямой, обратный и дополнительный коды. Выполните сложение в обратном и дополнитель­ном кодах. Результат переведите в прямой код. Полученный резуль­тат проверьте, используя правила двоичной арифметики.

а) Х = -11010; б) Х =-11101; в) Х= 111010;

Y= 100111; Y =-10011; Y = -101111;

г) Х = -101110; д) Х= 1101011; е) Х =-11011;

Y =-11101; Y =-1001110; Y = -10111.

Методические указания.

При сложении чисел в знаковом разряде могут появиться две цифры, вторую единицу от запятой называют единицей переноса.

При сложении чисел в дополнительном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается.

При сложении чисел в обратном коде возникающая единица переноса в знаковом разряде прибавляется к младшему разряду суммы кодов.

Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код. При этом обратный код преобразуется в прямой заменой цифр во всех разрядах, кроме знакового, на противоположные. Дополнительный код преобразуется в прямой так же, как и обратный, с последующим прибавлением единицы к младшему разряду.

Пример.

Сложить Х и Y в обратном и дополнительном кодах:

а)Х = 1111 и Y =-101.

Сложим числа, пользуясь:

правилами двоичной арифметики	обратным кодом	дополнительным кодом
Х= 1111 Y = - 101 X+Y= 1010	Х = 0,0001111 Y = 1,1111010 10,0001001 -> +1 (Х+ Y)обр= 0,0001010	Хдоп = Yдоп = Единица переноса отбрасывается (Х+Y)доп=	0,0001111 1,1111011 1 0,0001010 1 0,0001010

Так как результат сложения является кодом положительного чис­ла (знаку плюс (+) соответствует 0 в знаковом разряде), то (Х+ Y) _обр = (X + У) = (Х + У)_пр .

б) Х=-101, Y = -111.

Сложим числа, пользуясь:

правилами
двоичной арифметики	Обратным кодом	дополнительным кодом
Х= - 101 Y = - 111 Х+ Y = -1100	Хобр= 1,1111010 Yобр = 1,1111000 1 1,1110010 (X+Y)обр= 1,1110011	Хдоп= 1,1111011 Yдоп= 1,1111001 1,1 1 10100 Единица переноса отбрасывается (Х + Y)доп= 1,1110100

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

• из обратного кода: (Х+ Y)_обр = 1,1110011 => (Х+ Y )_пр = 1,0001100;

• из дополнительного кода: (X + Y)_доп = 1,1110100 => (X + Y)_пр =1,0001011 + 0,0000001, (Х+ Y)_пр = 1,0001100.

Получили Х+Y = -1100, результат совпадает с суммой, полу­ченной по правилам двоичной арифметики.

Задание 3. Сложите числами 7 в модифицированном обратном и модифицированном дополнительном восьмиразрядных кодах. При обнаружении переполнения увеличьте число разрядов в кодах и повторите суммирование. Результат переведите в прямой код. Полученный результат проверьте, используя правила двоичной арифметики:

а)Х = 1101101; б) Х = 111101; в) Х= -111010;

Y =110101; Y = -11.1001; Y =-1100111;

г) Х = -11001; д) Х =-10101; е) Х = —1101;

Y =-100011; Y =111010; Y = -111011.

Методические указания.

Модифицированные обратный и дополнительный коды

Переполнение разрядной сетки может привести к переносу единицы в знаковый разряд, что приведет к неправильному результату. Положительное число, получившееся в результате арифметической операции, может восприниматься как отрицательное, так как в знаковом разряде появится «1», и наоборот.

Например: Х= 0,1011110

Y = 0,1101100

Х+ Y = 1,1001010

Х и Y — коды положительных чисел, но в процессе сложения в знаковом разряде появилась «1», что означает код отрицательного числа. Чтобы распознать переполнение разрядной сетки, вводятся модифицированные коды.

Модифицированный обратный код характеризуется тем, что под знак числа отводится не один, а два разряда. Форма записи чисел в модифицированном обратном коде выглядит следующим образом:

• для положительного числа

Х=Х_п Х_п-1 ... Х₂ Х₁ Х₀ ... => X^мод_обр = 00,Х_пХ_п-1...Х₂Х₁Х₀;

• для отрицательного числа

Х = Х_n Х _n-1 ... Х₂ Х_х Х₀ => Х^мод_обр =11, Х _nX_n-1… Х₂ Х₁ Х₀

(X — обозначение логической операции отрицания «не X», если Х= 0,то Х = 1; Х= 1, Х = 0).

В модифицированных обратном и дополнительном кодах под знак числа отводится не один, а два разряда: «00» соответствует знаку «+», «11» - знаку «-». Любая другая комбинация («01» или «10»), получившаяся в знаковых разрядах, является признаком переполнения разрядной сетки. Сложение чисел в модифицированных кодах ничем не отличается от сложения в обычных обратном и дополнительном кодах.

Пример.

Даны два числа: Х= 101001 и Y= -11010. Сложить их в дополнительном и модифицированном дополнительном кодах.

Обычная запись	Х = + 0101011	Y =-0011110
Обратный код	Хобр = 0,0101011	Yобр = 1,1100001
Модифицированный обратный код	Хдопмод =00,101011	Yдопмод =11,100001
Дополнительный код	Хдоп = 0,0101011	Y доп= 1,1100010
Модифицированный дополнительный код	Хдопмол =00,101011	Yдопмод =11,100010

Выполним сложение:

Дополнительный код	Модифицированный дополнительный код
Хдоп= 0,0101011 Yдоп= 1,1100010 10,0001101 Единица переноса отбрасывается (X+Y)доп= 0,0001101	Хдопмод = 00,0101011 Yдопмод = 11,1100010 100,0001101 Единица переноса отбрасывается (X+Y) допмод= 00,001101

Переполнение не наблюдается (в знаковых разрядах «00»), Результаты, полученные в обычном и модифицированном кодах, совпадают (Х+ У = 1101).

Задания для самостоятельной работы

1. Запишите числа Х и Y в прямом, обратном и дополнительном кодах. Выполните сложение в обратном и дополнительном кодах. Результат переведите в прямой код. Полученный результат проверьте, используя правила двоичной арифметики.

2. Измените число Y, добавив в конец числа две единицы «11». Сложите полученные числа в модифицированном обратном и модифицированном дополнительном кодах. Результат переведите в прямой код. Выполните проверку сложения, используя правила двоичной арифметики.

Вариант	Числа X и Y	Вариант	Числа X и Y
1	X =100101 Y =11101	2	X=-101101 Y=1101
3	X =-110101 Y = 11101	4	X=-1101111 Y=10101
5	X =-1000111 Y =11101	6	X=-1110001 Y=10011
7	X =-1010001 Y = 10011	8	X=-1000011 Y=10011
9	X =-1101001 Y =10111	10	X=-1010001 Y=1111
11	X =-101001 Y =10111	12	X=-1010111 Y=11100
13	X =-110101 Y =1111	14	X=-101111 Y=1101
15	X =-110101 Y =10011	16	X=-1001011 Y=10101
17	X =-100011 Y =10011	18	X=-1010001 Y=1011
19	X = -110001 Y =10111	20	X=-1000111 Y=11111
21	X =-111001 Y =1110	22	X=-100001 Y=1111
23	X =-1011101 Y =10111	24	X=-1111000 Y=101111
25	X =-1100000 Y =1111	26	X=-10101 Y=1101