1.2 Простейший поток вызовов или поток Пуассона

Простейшим потоком вызовов называется стационарный ординарный поток без последействия. Основные характерные свойства простейшего потока выражают следующие определения этого потока:

1. Ординарный поток без последействия с постоянным параметром λ (0<λ<∞).

2. Интенсивность простейшего потока равна его параметру μ=λ.

3. Поток без последействия, для которого вероятность P_i(t) поступления i вызовов на промежутке длиной t определяется формулой (распределением) Пуассона:

,

4. Поток с независимыми промежутками z_k (k=1,2,…) между вызовами, распределенными по одинаковому экспоненциальному закону:

,

5. а) плотность распределения вероятностей промежутков времени между вызовами:

,

б) распределения промежутка времени между вызовами подчинено показательному закону и является достаточным условием существования простейшего потока.

6. Если известно, что случайный промежуток времени z, распределенный по показательному закону длится уже некоторое время τ, то закон распределения оставшейся части промежутка будет также показательным и с тем же параметром μ не будет зависеть от τ.

7. Объединение независимых простейших потоков с параметрами λ₁, λ₂, λ₃ очевидно, тоже будет простейшим потоком с параметром (λ₁+ λ₂+ λ₃).

Рис 1.4. Разъединение и объединение Пуассоновского потока.

8. Сумма большого числа малых станционных потоков близка к простейшему.

9. Математическое ожидание промежутка z между вызовами:

,

10. дисперсия промежутка z между вызовами:

,

11. Среднеквадратическое отклонение промежутка t:

,

12. математическое ожидание числа вызовов за промежуток t:

,

13. Дисперсия числа вызовов за промежуток t:

,

14. Совпадение за промежуток для простейшего потока на практике удобно использовать при проверке соответствия реального потока модели простейшего потока времени между вызовами подчинено показательному закону и является достаточным условием существования простейшего потока.

Показательно распределения широко применяется в теории телетраффика, теории массового обслуживания благодаря свойству: если известно, что случайный промежуток распределенный по показательному закону длился уже некоторое время , то закон распределения оставшейся части промежутка также будет показательным и с тем же параметром и не будет зависеть от .

1.3 Потоки с ограниченным последействием

Под потоком с ограниченным последействием понимается поток вызовов, у которого последовательность промежутков времени между вызовами представляют последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. У потока с ограниченным последействием вероятность поступления нового вызова в промежутке зависит только от расположения этого промежутка по отношению к моменту поступления последнего вызова и не зависит от времени поступления всех остальных (рис.2).

Рисунок 2 – Поток событий с ограниченным последствием

Для этих потоков в момент поступления вызова будущее не зависит от прошлого и все последствие ограничено величиной промежутка между вызовами.

Особое место среди потоков с ограниченным последействием занимают рекуррентные потоки, у которых все промежутки между вызовами, включая первый имеют одинаковой распределение при и рекуррентные потоки с запаздыванием, у которых только первый промежуток имеет распределение, отличное от других и они задаются двумя функциями распределения и при . Функция характеризует распределение промежутка времени от прозвольно выбранного начала отсчета до момента поступления первого вызова.

К потокам с ограниченным последействием относятся потоки Пальма, Эрланга, Бернулли.