Проверка однородности совокупности дисперсий

Для каждого слоя вычисляется несмещенная оценка дисперсии, обозначим эти оценки через  ₂(х),  ₂(y), …,  ₂(w) соответственно. Числа степеней свободы этих оценок k₁ = п₁–1, k₂ = п₂ – 1, …, k_т = п_w–1. Гипотеза Н₀ состоит в том, что выборки, по которым определены оценки дисперсии, получены из генеральных совокупностей, обладающих одинаковыми дисперсиями т₂(x)=т₂(y)= … =т₂(w)=т₂, при этом величина дисперсии т₂ остается неизвестной. Следует выяснить, являются ли величины  ₂(х),  ₂(y), …,  ₂(w) оценками одной и той же генеральной дисперсии т₂.

Рассмотрим сначала случай, когда объем выборок по слоям хотя бы частично различается. В такой ситуации применяется критерий однородности Бартлетта. Проверка однородности реализуется в несколько шагов.

Вычисляется усредненная оценка несмещенной дисперсии по всем слоям

,

(6.4)

где ,  ₂(i) – несмещенная оценка дисперсии для слоя i.

Рассчитывается значение критерия

(6.5)

Бартлетт установил, что случайная величина В при условии справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно как хи-квадрат с т–1 степенями свободы, если все n_i > 3. По заданному уровню значимости  , числу степеней свободы т–1 для правосторонней критической области определяется критическое значение  ²_кр(т–1; ). Если соблюдается условие B< ²_кр(т–1; ), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если B > ²_кр(т–1; ), то нулевая гипотеза отвергается. Критерий Бартлетта чувствителен к отклонениям распределения от нормального, поэтому к результатам сравнения следует относится осторожно, а при одинаковом объеме всех слоев вместо критерия Бартлетта лучше применять критерий Кочрена (Кохрена).

Итак, если k₁ = k₂ = … = k_т, то применяется критерий Кочрена

,

где  _{2, max} – максимальная оценка дисперсии по всем слоям.

Критическая область для критерия Кочрена правосторонняя. Критическую точку G_кр(k₁, m;) находят по таблице распределения Кочрена, фрагмент которой приведен в табл. П.7. Критическая область определяется неравенством G >G_кр(k₁, m;).

Сравнение факторной и остаточной дисперсий

Пусть все выборки (6.1) характеризуют одну случайную величину Х при различных значениях фактора Ф, т.е. каждый слой соответствует одному количественному или качественному значению фактора. Сравнение дисперсий производится в следующем порядке:

рассчитывается среднее значение (оценка математического ожидания) по всей совокупности наблюдений , где п=п₁+п₂+…+п_т , а х_ij – j-й элемент i-го слоя;

вычисляются средние значения для всех слоев (групп) ;

определяется общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от оценки математического ожидания

;

определяется факторная сумма квадратов отклонений средних по слоям от оценки математического ожидания (характеризует рассеяние между слоями)

;

определяется остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений внутри слоя от своей средней

.

Величина S_факт характеризует влияние фактора Ф. Это положение можно пояснить следующим образом. Пусть фактор оказывает существенное влияние на величину Х. Тогда результаты наблюдения для одного слоя, вообще говоря, отличаются от результатов, представленных в других слоях. Следовательно, различаются и средние значения по слоям, причем они тем больше отличаются от оценки математического ожидания по всей выборке, чем больше проявляется влияние фактора. Таким образом, сумма квадратов отклонений средних по слоям от общей средней и характеризует влияние фактора (возведение отклонений во вторую степень исключает взаимную компенсацию положительных и отрицательных отклонений).

Наблюдения внутри одного слоя различаются из-за воздействия случайных причин. Именно сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений в каждом слое от среднего значения в слое и характеризует воздействие этих причин, т.е. величина S_ост отражает суммарное влияние случайных причин на значение величины Х.

Величина S_общ, как сумма квадратов отклонений конкретных значений от среднего значения, характеризует суммарное влияние фактора и случайных причин. Можно показать, что S_общ = S_ост + S_факт, тогда для вычисления остаточной суммы квадратов можно воспользоваться более простым соотношением S_ост = S_общ – S_факт.

Разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получим оценки общей, факторной и остаточной дисперсий:

(6.10)

Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно. Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Р. Фишера F =  ²_факт / ²_ост должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований. Если  ²_факт <  ²_ост, то нет необходимости прибегать к вычислению критерия Р. Фишера – из неравенства сразу следует вывод о выполнении нулевой гипотезы. Итак, из справедливости гипотезы о равенстве средних величин по группам следует соблюдение гипотезы о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Если нулевая гипотеза о равенстве средних величин по слоям является ложной, то с увеличением расхождения между слоями возрастает оценка факторной дисперсии, а вместе с ней и величина критерия F =  ²_факт / ²_ост . В результате значение F превысит критическое значение, и гипотеза о равенстве дисперсий будет отвергнута.

Рассуждая от противного, можно доказать справедливость утверждений: из справедливости (ложности) гипотезы о дисперсиях следует истинность (ложность) гипотезы о математических ожиданиях. Таким образом, вместо проверки нулевой гипотезы Н₀ о равенстве средних значений для совокупности выборок следует проверить гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий.

Пример 6.2. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве средних значений по слоям, применительно к результатам наблюдений, представленных в табл. 6.1. Предполагается, что выборки принадлежат нормальному распределению, а каждый слой соответствует некоторому значению фактора Ф.

Решение. Необходимо проверить однородность дисперсий, а затем непосредственно провести дисперсионный анализ. Проверим гипотезу об однородности дисперсий. Для этого вычислим: оценки математического ожидания по слоям (групповые средние)

 _{гр 1} = 263,93;  _{гр 2} = 262,95;  _{гр 3} = 265,32;

несмещенные оценки дисперсии по слоям

 ₂ (1) = 29,79;  ₂ (2) = 54,20;  ₂ (3) = 34,61;

усредненную оценку несмещенной дисперсии по всем слоям

 ₂ =(29,79 ^. 5+54,20 ^. 6+34,61 ^. 6)/17 = 40,11.

значение критерия Бартлетта

В=a/c=0,56/1,08=0,52,

где а=2,303(17lg 40,11 – (5 lg 29,79+6 lg 54,20+6 lg 34,61)) = 0,56;

с = 1+(1/5+1/6+1/6 –1/17)/[3(3–1)]=1,08.

Критическое значение хи-квадрат для правосторонней области  ²_кр(2; 0,05)=6,0. Поскольку величина В меньше  ²_кр(2; 0,05), отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований.

Дисперсионный анализ предусматривает вычисление:

суммы квадратов

S_общ = 701,65; S_факт = 19,81; S_ост = 681,84;

оценок дисперсий

 _{2 общ}=701,65/19=36,93;  _{2 факт}=19,81/2=9,91;  _{2 ост}=681,84/17=40,10.

Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки, Иначе говоря, в данном примере фактор Ф не оказывает существенного влияния на случайную величину.

Тема№6.

При косвенных измерениях значение искомой физической величины Y находится на основании результатов измерений аргументов (отдельные результаты наблюдений в ряду измерений) x₁ , x₂ , …, x_m , связанных с искомой величиной известной функциональной зависимостью:

Y(х) = F (x₁, x₂ ,…, x_m)

Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из литературных источников.Функция F должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь. При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано. Разработаны методики определения результатов косвенных измерений и оценки их погрешности:

1) при линейной зависимости и отсутствии корреляции между

погрешностями изменений аргументов;

2) при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между

погрешностями измерений аргументов;

3) для коррелированных погрешностей измерений аргументов при

наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

Обработка результатов косвенных измерений при линейной

зависимости

Для решения задачи косвенных измерений необходимо, чтобы были известны: вид функций, результаты измерений аргументов x₁ , x₂ , …, x_m , и оценки их погрешностей.

Условием справедливости нулевой статической гипотезы об отсутствии корреляционной связи между погрешностями результатовизмерения i-го и (i +1)-го аргументов является выполнение неравенства для критерия Стьюдента

где n – число измерений, r- коэффициент корелляции

Значение t , полученное из (10.2), сопоставляют с табличным значением t_q , которое берут для принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f = n − 2 . При t > t_q подтверждается значимость выборочного коэффициента корреляции. При условии, что распределение случайных погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства.

где t_q – коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n − 2 ; r – оценка коэффициента корреляции между погрешностями

аргументов x_h и x _j , найденная по формуле:

где x_hi ; x _ji – результаты i-го измерения h-го и j-го аргуменов; n _j = n_i = n – число измерений каждого из аргументов. Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех

парных сочетаний аргументов. Если существует линейная зависимость и отсутствует корреляция между погрешностями измерений аргументов, то обработку результатов

выполняют в следующей последовательности. Искомое значение Y связано с m измеряемыми аргументами x₁ , x₂ , …, x_m , уравнением:

Y = b₁ ⋅ x₁ + b₂ ⋅ x₂ +...+ b_m ⋅ x_m

где b₁, b₂ , ..., b_m – постоянные коэффициенты при аргументах x₁ , x₂ , …, x_m , соответственно. При экспериментальном определении коэффициентов b₁, b₂ , .., b_m

результат измерения величины получается после выполнения 2-х этапов На первом этапе оцениваются каждое слагаемое b_i x_i как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин. На втором этапе находят оценку измеряемой величины Y . Результат косвенного измерения для известных значений результатов аргументов (т. е. точечные оценки рядов измерений аргументов) x₁ , x₂ , …, x_m равен:

Или, с учетом зависимости 10.5, результат Y вычисляется по формуле

где X_i – результат измерения i-го аргумента (параметра X_i );m – число аргументов.

Причем, следует напомнить, что каждый аргумент (в случае многократных измерений) может быть повторен n раз. Оценка среднего квадратичного отклонения результата косвенного измерения вычисляется по формуле:

где X_i S – оценка среднего квадратического отклонения измерения аргумента x_i , определяемого по известной формуле.