Глава 1:введение в анализ.
ПАРАГРАФ 1:МНОЖЕСТВА.
Опр. 1: Суммой множеств (объединением) – называют множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из данных множеств.
– объединение множеств.
Общий элемент указывается один раз.
Опр. 2: Пересечением множеств (произведением) называется множество, каждый элемент которого принадлежит данным множествам.
– пересечение.
Опр. 3: Разностью
множеств
и
называют
множество,
каждый элемент которого принадлежит
и не принадлежит
.
Промежутки.
Вся
ось
– множество вещественных чисел.
– замкнутый промежуток – сегмент.
– открытый промежуток (интервал).
– полузамкнутый.
РАЗЛИЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ.
1. Первичное множество
N = {1, 2, 3….} – (применяются для счета предметов) множество натуральных чисел.
2. {0, 1, 2, 3, 4…} – множество целых неотрицательных чисел.
3. Z = {0, ±1, ±2…} – множество целых чисел.
4. Q = {p/q} – рациональное множество чисел, где P Î Z, q = N.
Во множестве Q возможны все 4 арифметических действия, за исключением деления на нуль.
Множество иррациональных чисел – множество чисел, которые изображаются бесконечными не периодичными десятичными дробями.
Множество вещественных чисел (действительных) – множество, являющееся объединением Q и иррациональных чисел.
R – множество вещественных чисел.
R = Q È {иррациональные числа}.
Свойства вещественных чисел:
Упорядоченность.
Для любых двух вещественных чисел верно одно и только одно соотношение:
Плотность:
Между двумя любыми не равными вещественными числами лежит бесконечное множество других вещественных чисел.
Неограниченность:
Каким бы не было
вещественное число
,
всегда существует точка
,
что
,
и всегда существует
,
что
.
Несчетность.
Вещественные числа
нельзя занумеровать, т. к. их больше
натуральных (
поддается нумерации.)
Непрерывность.
Опр. 1: Множество называется ограниченным с верху, если существует его верхняя граница (число, которое не меньше всех чисел множества А)
Если существует верхняя граница хоть одна, то существует бесчисленное множество верхних границ.
Опр. 2: Наименьшей из верхних границ, ограничивающих с верху числовое множество , называется его точной верхней границей.
Обозначается:
(supremum)
Опр. 3: Множество называется ограниченным снизу, если существует его нижняя граница в (число, которое не больше всех чисел множества ).
Если существует хотя бы одна нижняя граница, то существует бесчисленное множество нижних границ.
Опр. 4: Наибольшая из нижних границ, ограниченного снизу числового множества , называют точной нижней границей.
Обозначается:
(infimum).
Опр. 5: Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.
Формулировка свойства непрерывности множества вещественных чисел.
Если числовое множество ограниченно сверху, то оно имеет точную верхнюю границу.
Если числовое множество ограниченно снизу, то оно имеет точную нижнюю границу.