5 Численое интегрирование
Метод Монте-Карло построен на случайном выборе точек внутри прямоугольника, содержащего заданную фигуру. Идея метода: при большом количестве точек, наугад выбранных внутри прямоугольника, доля точек, содержащихся в заданной фигуре, приближенно равна отношению площади этой фигуры к площади прямоугольника.
Пусть rnd(1) – функция, моделирующая случайное число на отрезке [0,1]. Тогда координаты случайной точки внутри прямоугольника ab×cd можно определить по формулам: х=a+(b – a) rnd(1); y= c+(d – c) rnd(1).
Пусть подинтегральная функция на отрезке
интегрирования расположена выше оси
абсцисс. Тогда с=0,
,
y = d
rnd(1),
ЗАДАЧА 5.
Найти формулы определения координат случайной точки для вычисления интегралов по методу Монте-Карло.
1)
2)
РЕШЕНИЕ
1) х=a+(b – a) rnd(1) = 2+(3 – 2) rnd(1) = 2 +rnd(1)
Подинтегральная функция f(x)=x2–3x+2 является параболой, ветви которой направлены вверх.
Н
айдем
вершину параболы:
f'(x)=2x–
3 = 0, x=1,5
,
f(3) = 2.
Следовательно,
.
На отрезке [2, 3] f(x)≥0, следовательно, с = 0.
y = d rnd(1) = 2 rnd(1).
2) х=a+(b – a) rnd(1) = 1+(2 – 1) rnd(1) = 1+ rnd(1)
Подинтегральная функция f(x)=–x2+3x–2 является параболой, ветви которой направлены вниз.
Н
айдем
вершину параболы:
f'(x)=
–2x+ 3 = 0, x=1,5
,
f(1,5) = 0,25.
Следовательно,
.
На отрезке [1, 2] f(x)≥0, следовательно, с = 0.
y = d rnd(1) = 0,25 rnd(1).
Задание 5.
Найти формулы определения координат случайной точки для вычисления интегралов по методу Монте-Карло.
1)
2)
Литература
Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 256с.
В.В. Скворцов. Нескучные вычисления. М.: Просвещение, 1999. – 223с.
Н.И. Данилина и др. Численные методы. – М.: Высшая школа, 1976. – 368с.
Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике: учеб. пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1990 – 208с.