4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний. Фигуры Лиссажу

Пусть колебания одинаковой частоты совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей X и Y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения колебаний таким образом

, (4.29)

, (4.30)

где - разность фаз складываемых колебаний.

Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего колебания.

. (4.31)

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно координатных осей X и Y.

Рассмотрим частные случаи:

1) При = 0 уравнение (4.31) принимает вид

. (4.32)

Колеблющаяся точка переме- щается по прямой, причём расстоя- ние от начала координат изменяется по закону.

. (4.33)

Таким образом, результирующее колебание является гармоническим.

2) При результирую- щее колебание так же является гармоническим и совершается вдоль прямой, описываемой уравнением

. (4.34)

3) При уравне- ние (4.31) становится уравне- нием эллипса, приведённого к координатным осям

. (4.35)

Направление обхода элипса определяется знаком перед π/2. При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность.

При сложении взаимноперпендикулярных гармони- ческих колебаний с кратными частотами, траектории движения точки имеют вид сложных кривых – фигур Лиссажу, вид которых зависит от соотношения частот, и разности фаз складываемых колебаний.

Например, при сложения двух колебаний с частотами ω и 2ω и разностью фаз Δφ₁=0 и Δφ₂ = π/2, соответствующие фигуры Лиссажу показаны на рис.4.8 и рис.4.9.

.

По виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний.

4.1.6. Затухающие колебания и их характеристики

Рассмотрим реальную механическую систему (например, пружинный маятник), в которой действуют силы трения. Считая силу трения пропорциональной скорости, закон движения пружинного маятника запишется в виде

, (4.36)

где r- коэффициент сопротивления, k-коэффициент упругости.

Уравнение (4.36) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, (4.37)

где = r/2m - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний системы.

Решение уравнения (4.37) имеет вид

, (4.38)

где - частота затухающих колебаний.

График функции (4.38) показан на рис. 4.10. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону

, (4.39)

а период колебаний определяется формулой

. (4.40)

С ростом β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания . При процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 4.11).

Рис.4.10 Рис.4.11

Рис. 2.9.

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  - время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

. (4.41)

2) логарифмический декремент затухания, представля- ющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

, (4.42)

где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

3) добротность колебательной системы

, (4.43)

где E - энергия системы в момент времени t; -убыль энергии за один период колебаний.